【数学】一次不定方程式②

対象：定期試験以上

ベズーの等式①から，すべての整数は
整数$${x}$$，$${y}$$を用いて
$${ax+by \ (a \ と\ b \ は互いに素な自然数)}$$
の形で表せることがわかりました

ところが$${x}$$と$${ y }$$を自然数や非負整数に限定してしまうと
表せない数が出てきます
今回は　そこに関する問題です

解答は↓

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剰余類(余りによる分類)を用いた解答ですが，初めての人にとっては
やはり難しいイメージがあるようです

何をしているかを理解してもらうために次のような表を用意します
係数の4と7では4のほうが小さいので4段の表を書きます

すなわち　4の剰余類でわけたんですね
上から順に$${4m+1，\ 4m+2，\ 4m+3，4m}$$となっています

1段目の25 は$${4\times 1+7\times 3=25}$$となるので
右隣の29は$${4\times 2+7\times 3=29}$$と表せます
右に行けば4増えるので，4の係数が1増えるだけです
したがって　1段目の25より右側の数はすべて$${4x+7y}$$の形で書くことができます
同様に2段目から4段目まで考えていき，丸をつけていきました
丸が付いていないもののうち2桁のものが答えであり
これを言葉で説明したものが上の解答です

実は
$${ax+by \ (a\ と\ b \ は互いに素な自然数，x，y \ は自然数}$$
であるとき$${ax+by=ab}$$ となる自然数$${x，y}$$は存在しません
今回は
$${4x+7y=28}$$となる自然数$${x，y}$$は存在しませんから
そこに着目して次のように書いてもよいでしょう

ということで今回は以上です