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【数学】2次不定方程式①

対象:定期試験以上

今回は 2次不定方程式 です

1次不定方程式はこちら

さて ここから2次不定方程式のお話です


基本的な問題ですが 1つ1つ確認しながら進めていきましょう





分母を払って整理すれば 最初の問題と同じ式となりますが
この形で問題が出された場合には 問題自体に$${x\neq 0 \ かつ \ y\neq 0}$$ の意味が入っています
よって 上で得られた解の1つ$${(0,-3)}$$を除いた3つのみが答えとなります


さて 最初の問題は別解があります

$${x,y}$$はともに整数であるので 「整数$${=}$$・・・」の形にして議論しました
分数がある場合には 約分出来て必ず整数となるので
分子は分母の倍数 つまり 分母は分子の約数(負のものも含む) となります



では 次です

因数分解で攻めました
今回は 2つの平方数の差が72ということになりますが
2つの平方数の差が小さいときには 次のように別の議論をすることもあります

$${x^2-y^2=3}$$ のとき,差が3となる平方数は4と1のみである
よって $${(x,y)=(\pm 2,\ \pm 1) (複合任意)}$$

平方数の列 $${1,4,9,16,25,\ \cdots}$$は
階差数列が奇数の数列 となるのでしたね
今回の場合は 差が72であり「72が連続するいくつかの奇数の和」と考えてもよいのですが ちょっとメンドウです
差が小さいときに 使える方法の1つと考えてください



では次です


2次不定方程式② につづく



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