【数学】台形近似

対象：難関国立理系　難関私立理系

今回は　台形近似　のお話です
東京大学・京都大学をはじめ　難関大学で出題されるもので
1つの重要テーマでもあります

不等式の証明(面積比較)　を学習後に取り組んでください

でははじめましょう

長方形との面積比較でうまくいかないなら　台形との面積比較を考えてください
ただし　与式の形から明らかに「台形だろ」とわかるものもあります
練習してみましょう

(1)の与式の右辺が　台形の面積を表していますね
重要テーマとして認識していれば　式をそういう目でみることができます
メインは(2)で　もし(1)の誘導がなければ　長方形の階段状の面積と$${\displaystyle\int_{1}^{n}\dfrac{1}{x} \ dx}$$の面積を比較して　ということを考えると思いますが　それだとうまくいかないんですね
ですから　(1)で「台形で考えてください」という誘導がついています
誘導がない場合には　まず長方形との比較　だめなら台形　という手順を踏むことになります
無条件に使えるわけではないので　関数の凸性を言及してください

もう1問です

(1)は誘導で　関数の凸性を確認しましょう　という問題です
(2)では　長方形で$${\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1+x^3} \ dx}$$をはさんでみると
$${\dfrac{16}{36}<\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1+x^3} \ dx<\dfrac{1}{2}}$$
となって　下側の評価が甘いことがわかります
もう少し厳しく評価しようということで　台形を考えるとうまくいきます

実際$${\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1+x^3} \ dx}$$は積分することが出来て$${\pi}$$や対数を用いて表せますが　今回は積分して考えてくださいという主旨ではないんですね
積分は恒等式を使うタイプで　次の記事の最後にあります

2問演習しましたが　いずれも関数の凸性を考え
任意の割線(弦)よりも下側(または上側)にグラフがある
という事実を使いました
他のパターンとしては
任意の接線より上側(または下側)にグラフがある
という性質を使うものもあります