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【数学】数学的帰納法①
対象:定期試験以上
すべての自然数に対して成り立つ命題の証明の方法としては次の3つがあります
![](https://assets.st-note.com/img/1689575129346-iAph7iT3NZ.png?width=1200)
数学的帰納法学習する際には その直前に漸化式があり
初項が定義され
$${a_n}$$が定義されれば その次$${a_{n+1}}$$が定義される
結果的に すべての自然数で定義される
という 帰納的定義 というものを学んでいるはずだと思います
それと同様に 直前で成り立てばその次でも成り立つ
結果的に すべての自然数で成り立つ
というものが 数学的帰納法 です
![](https://assets.st-note.com/img/1689575324517-6enMRE0s1s.png?width=1200)
多少のパターンはあるものの,基本となる概念は同じです
では,1問やってみましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1689575501412-xXoUsnTcDQ.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1689575514957-0TaIAYHNcK.png?width=1200)
記述の注意点をあげると
まず数学的帰納法を用いるときは
数学的帰納法の言葉を入れる ようにしましょう
問題文で「数学的帰納法を用いて」と言われているときには
省略しても構わないと思いますが クセをつけておくとよいと思います
また (ii)については 文字$${k}$$を用いずに
ある$${n}$$で成り立つと仮定するとき$${n+1}$$のときにも成り立つ
というように書いてもOKです
そして 帰納法による証明の最大重要ポイントは
![](https://assets.st-note.com/img/1689575551677-2pa4RK0Qk8.png?width=1200)
ということも意識してください
帰納法の仮定($${n=k}$$のときの成立)を使わないで証明できるのなら,それはそもそも 数学的帰納法ではなく 直接証明 となるからです
だから帰納法の仮定は必ず使う!
今回で言えば $${2^{k+1}-3^{2k-1}=7m \ (m \ は整数)}$$ を必ず使わなければなりません
使わなければならないので 式変形の方向が定まります
今回の問題では 底が2の部分と底が3の部分があり
帰納法の仮定を用いて 底が2の部分にそろえた
ということです
もちろん底を3のものにそろえても良いです(次解答)
![](https://assets.st-note.com/img/1689575560360-WoURNWYFB1.png?width=1200)
数学的帰納法②へ つづく
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