(5)：2つの変数の関係を表す指標たち
シミュレーションしてみましょう
理屈はともかく、Excelでシミュレーションして、それぞれの指標の振舞いを観察してみましょう。まずは、質的変数どうしの関連指標から。
カイ二乗値とクラメールのVを計算してみる
図に示したような簡単なクロス表で、カイ二乗値とクラメールのVを計算してみます。
出身地と麺類の好みを10人に聞いた
どこかで聞いたような設定ですね。
いちおう説明すると、黄色い背景のセルが観測値で、10人に「どこ出身か」（A=関東、B＝関西）、「うどん派かそば派か」（X=うどん、Y＝そば）を聞いた、みたいに理解してください。「関東（A）」で「うどん派（X）」は3人（全体の30％）ですね。
グレーの背景のセルは期待値です。
chi2.test：カイ二乗検定のｐ値。p=0.197で、有意ではありません。
chi2.val：カイ二乗値。
cramer_v：カイ二乗値から計算されたクラメールのＶ。
人数を単純に5倍してみると・・・
chi2.test：p値はうんと小さくなって有意。出身地と麺類の好みには関係がありそうだ、と結論できます。さっきはだめだったのに。
chi2.val：カイ二乗値は、（電卓では丸め誤差が出ますが）ちゃんと5倍になっています。$${1.667\times5=8.333}$$です。
cramer_v：まったく同じです。
人数を単純に5倍しただけで有意に変わっていいのか？
人数を単純に5倍しただけなので、全体の傾向は何も変わっていないはずです。最初、「関東（A）」で「うどん派（X）」は「全体の30％」（10人中3人）でしたが、5倍してもやはり、「全体の30％」（50人中15人）です。
カイ二乗値は、全体の人数（＝サンプルサイズ）に影響されて大きくなってしまいますが（それにともなってp値も小さくなる）、クラメールのVは、サンプルサイズには影響されません。
共分散と相関係数を計算してみる
次に量的変数同士の関係。なんでもいいので2つの量的変数XとYがあると思ってください。
cov（共分散）：上の例では0.6です。
cor（相関係数）：上の例では0.3です。
データを全部10倍してみた
どうして10倍するん？ という感じもしますが、「ｃｍで測ったけどやっぱりｍｍで測ることにした」みたいな場面でしょうか。「２ｃｍ」じゃなくて「２０ｍｍ」に直したということにしておきます。指標はどうなるでしょうか。
cov（共分散）：0.6が60になりました。なんと100倍です。
cor（相関係数）：全く同じで、0.3です。
もともとの値を単純に10倍しただけなので、XとYの関係が変わったわけではありません。散布図を見てもそのことがよくわかります。けれど、共分散の方は、たとえば測定単位の変更などを行うと、それに影響された数値が変わってしまいます。相関係数は、そのような影響は受けません。
シミュレーションしてみよう
こういう、意味のよく似た指標とか、違いを説明されても「本当か？」と思うことがありますね。シミュレーションができるなら、やってみるといいです。実際にExcelに数式を打ち込むことで、「何を使ってどう計算しているんだっけ？」ということの理解も深まります。そういう作業って、自分でとったデータを分析するときに必ず役立ちますからね。
シミュレーションをしたファイルです。自己責任でご自由にお使いください。