Sums of three cubes 1

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(8/2/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(11/2/2024)}$$
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$${x^3+y^3+z^3=n}$$$${~~~ \bigg(\sum\limits_{i=1}^3\ a_i^3=n \bigg)}$$
$${n  \not\equiv \pm 4  (mod   9)}$$
$${n  \in  \mathbb{Z}}$$
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【$${Wikipedia}$$より抜粋】
　任意の$${n}$$に対して、条件を満たす解$${(x,y,z)}$$の組を求める問題は、$${1953}$$年にルイス・モーデルによって考え出された。
いくつかの$${n}$$に対する解の探索には長い時間がかかっていたが、$${MIT}$$などの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、ある$${n}$$に対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている。
なお、$${n}$$の値について、$${9}$$を法として$${4, 5}$$ に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのような$${n}$$が存在し得ないからである。
このことは、 全ての立方数は$${9}$$を法として$${0, 1, 8}$$ のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。$${n^3  \equiv 0  , \pm 1  (mod 9)}$$
同様に、$${4}$$つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${13}$$
$${(13.1)}$$  $${x^3+y^3+z^3=2w^3}$$
$${(13.2)}$$  $${x^3+y^3+z^3=w^3}$$
この内容が一部含まれている。
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個々の$${n}$$に対しての解の一部は、
$${(9a^4)^3+(3a-9a^4)^3+(1-9a^3)^3=1}$$
$${(1+6a^3)^3+(1-6a^3)^3+(-6a^2)^3=2}$$
$${569936821221962380720^3+\\ (-569936821113563493509)^3 +\\ (-472715493453327032)^3=3}$$
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続きは別の機会に…
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$${REFERENCES}$$
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$${L. J. Mordell\\Diophantine~Equations\\Academic~Press, London, 1969}$$

$${Armen~Avagyan, Gurgen~Dallakyan\\A~New~Method~in~the~Problem\\of~Three~Cubes\\Universal~Journal~of~\\Computational~Mathematics\\5(3): (p~45-56), 2017}$$
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$${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${n}$$ $${~~~(n  \in  \mathbb{N})→}$$こちらへ
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$${~~~\sum\limits_{i=1}^5\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${n}$$ $${~~~(n  \in  \mathbb{N})→}$$こちらへ
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