Diophantine equation 19

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(4/2/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(11/2/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${19}$$
$${(19.1)}$$  $${x^3+y^3+z^3+w^3=n}$$
の整数解を求める。
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$${case(19.1)}$$  $${(x^3+y^3+z^3+w^3=n)}$$
いくつかの場合に分けて考える。
$${1966}$$年、$${V. A. Demjanenko}$$
によって次の事が示された。

$${n=\begin{cases}n \equiv 0 \pmod 6【1】\\n \equiv \pm 1 \pmod 6\\n \equiv \pm 2 \pmod 6\\n \equiv \pm 3 \pmod 6【2】\end{cases}}$$
$${n \equiv \pm 1 \pod 6 \begin{cases}n \equiv \pm 1 \pod {18}【3】\\n \equiv \pm 5 \pod {18}【未解決】\\n \equiv \pm 7 \pod {18}【5】\end{cases}}$$
$${n \equiv \pm 2 \pod 6 \begin{cases}n \equiv \pm 2 \pod {18}【6.1 \sim 6.5】\\n \equiv \pm 4 \pod {18}【未解決】\\n \equiv \pm 8 \pod {18}【4】\end{cases}}$$
$${n \equiv \pm 2 \pod {18} \begin{cases}n \equiv \pm 2 \pod {54}【6.1】\\n \equiv \pm 16 \pod {54}【6.3 \sim 6.5】\\n \equiv \pm {20} \pod {54}【6.2】\end{cases}}$$
$${n \equiv \pm 16 \pod {54} \begin{cases}n \equiv \pm 16 \pod {108}【6.4,6.5】\\n \equiv \pm 38 \pod {108}【6.3】\end{cases}}$$
$${n \equiv \pm 16 \pod {108} \begin{cases}n \equiv \pm 16 \pod {216}【6.4】\\n \equiv \pm 92 \pod {216}【6.5】\end{cases}}$$
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【$${1}$$】$${n \equiv 0 \pmod 6}$$
次の恒等式から$${n \equiv 0 \pmod 6}$$の時が解ける。
$${(x+1)^3+(x-1)^3-2x^3=6x}$$
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【$${2}$$】$${n \equiv 3 \pmod 6}$$
次の様におく、
$${x=ak+p ~, ~ y=bk+q\\z=ck+r ~, ~ w=dk+s}$$
元の式は次の様になる。
$${(a^3+b^3+c^3+d^3)k^3+\\3(a^2p+b^2q+c^2r+d^2s)k^2+\\3(ap^2+bq^2+cr^2+ds^2)k+\\(p^3+q^3+r^3+s^3)=n}$$

ここで、$${k^3}$$の項が$${0}$$になる$${(a,b,c,d)}$$を選び、$${k^2}$$の項が$${0}$$になる$${(p,q,r,s)}$$を求める。
実際にやってみる。
$${(a,b,c,d)=(1,-1,2,-2)}$$の時$${k^2}$$の項は
$${3(p+q+4r+4s)}$$で、これが$${0}$$になる為には、
$${(p,q,r,s)=(0,4,-5,4)}$$とすればよく、
元の式に代入すると、
$${k^3+(-k+4)^3+(2k-5)^3+(2k+4)^3\\=6k+3 \equiv 3 \pmod 6}$$
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【$${3}$$】$${n \equiv \pm 1 \pmod {18}}$$
$${(a,b,c,d)=(2,-2,3,-3)}$$の時$${k^2}$$の項は
$${3(4p+4q+9r+9s)}$$で、これが$${0}$$になる為には、$${(p,q,r,s)=(14,-23,30,-26)}$$
とすればよく、元の式に代入すると、
$${(2k+14)^3+(-2k-23)^3+(3k+30)^3+\\(-3k-26)^3=18k+1 \equiv 1 \pmod {18}}$$
全て符号を変えると
$${(-2k-14)^3+(2k+23)^3+(-3k-30)^3+\\(3k+26)^3=-18k-1 \equiv -1 \pmod {18}}$$
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【$${4}$$】$${n \equiv \pm 8 \pmod {18}}$$
$${(a,b,c,d)=(1,-1,3,-3)}$$の時$${k^2}$$の項は
$${3(p+q+9r+9s)}$$で、これが$${0}$$になる為には、$${(p,q,r,s)=(-5,14,-30,29)}$$
とすればよく、元の式に代入すると、
$${(k-5)^3+(-k+14)^3+(3k-30)^3+\\(-3k+29)^3=18k+8 \equiv 8 \pmod {18}}$$
全て符号を変えると
$${(-k+5)^3+(k-14)^3+(-3k+30)^3+\\(3k-26)^3=-18k-8 \equiv -8 \pmod {18}}$$
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【$${5}$$】$${n \equiv \pm 7 \pmod {18}}$$
$${(a,b,c,d)=(1,6,8,-9)}$$の時$${k^2}$$の項は
$${3(p+36q+72r+81s)}$$で、これが$${0}$$になる為には、$${(p,q,r,s)=(2,-1,-2,2)}$$
とすればよく、元の式に代入すると、
$${(k+2)^3+(6k-1)^3+(8k-2)^3+\\(-9k+2)^3=18k+7 \equiv 7 \pmod {18}}$$
全て符号を変えると
$${(-k-2)^3+(-6k+1)^3+(-8k+2)^3+\\(9k-2)^3=-18k-7 \equiv -7 \pmod {18}}$$
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【$${6}$$】$${n \equiv \pm 2 \pmod {18}}$$ の場合
計算がかなり長くなるので結果だけ抜粋。
【$${6.1}$$】 $${n \equiv \pm 2 \pmod {54}}$$
$${(29484k^2+2211k+43)^3-\\(-29484k^2-2157k-41)^3+\\(9828k^2+485k+4)^3-\\(-9828k^2-971k-22)^3=18(3k)+2\\ \equiv 2 \pmod {54}}$$
全て符号を変えると$${n \equiv -2 \pmod {54}}$$
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【$${6.2}$$】 $${n \equiv \pm 20 \pmod {54}}$$
$${(3k-11)^3-(3k-10)^3+\\(k-2)^3- (k-7)^3=18(3k+1)+2 \\ \equiv 20 \pmod {54}}$$
全て符号を変えると$${n \equiv -20 \pmod {54}}$$
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【$${6.3}$$】 $${n \equiv \pm 38 \pmod {108}}$$
$${(29484k^2+25143k+5731)^3+\\(-29484k^2-25089k-5708)^3+\\(9828k^2+8129k+1802)^3+\\(-9828k^2-8615k-2009)^3\\=3323(108k+46) \equiv 38 \pmod {108}}$$
全て符号を変えると$${n \equiv -38 \pmod {108}}$$
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【$${6.4}$$】 $${n \equiv \pm 16 \pmod {216}}$$
$${(14742k^2-2157k+82)^3+\\(-14742k^2+2211k-86)^3+\\+(4914k^2-971k+44)^3+\\(-4914k^2+485k-8)^3=18(12k-1)+2\\ \equiv -16 \pmod {216}}$$
全て符号を変えると$${n \equiv 16 \pmod {216}}$$
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【$${6.5}$$】 $${n \equiv \pm 92 \pmod {216}}$$
$${(3k-164)^3-(3k-160)^3+\\(k-35)^3-(k-71)^3 =18(12k+5)+2 \\ \equiv 92 \pmod {216}}$$
全て符号を変えると$${n \equiv -92 \pmod {216}}$$
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$${x^3+y^3+z^3+w^3=n}$$
の整数解を求める問題は、
$${n=\begin{cases} n \equiv \pm 4 \pod {18}\\ n \equiv \pm 5 \pod {18} \end{cases}}$$
つまり、$${n \equiv \pm 4 \pmod9}$$
の場合が未解決である。
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$${REFERENCES}$$
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$${V. A. Demjanenko}$$
$${"On~sums~of~four~cubes",\\Izvestiya~Vysshikh~Uchebnykh\\Zavedenii. Matematika, \\vol. 54, no. 5, 1966, p. 63-69}$$
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$${~~~\sum\limits_{i=1}^3\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${n}$$ $${~~~(n  \in  \mathbb{N})→}$$こちらへ
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$${~~~\sum\limits_{i=1}^5\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${n}$$ $${~~~(n  \in  \mathbb{N})→}$$こちらへ
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