Diophantine equation 13

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(29/1/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(29/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${13}$$
$${(13.1)}$$  $${x^3+y^3+z^3=2w^3}$$
$${(13.2)}$$  $${x^3+y^3+z^3=w^3}$$
の整数解を求める。
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$${case(13.1)}$$  $${(x^3+y^3+z^3=2w^3)}$$

次の恒等式を使う。
$${(a+b)^3+(a-b)^3+(-6ab^2)=2a^3}$$
$${(-6ab^2)}$$が立方数になる様に、
$${b→6ab^3}$$と置き換えると、
$${(-6ab^2)→(-6ab^2)^3}$$となる。
元の恒等式に代入すると、

$${(a+6ab^3)^3+(a-6ab^3)+(-6ab^2)^3=2a^3}$$
$${(x,y,z,w)=(a+6ab^3,a-6ab^3,-6ab^2,a)}$$

$${(a,b)=(1,1)}$$→ $${(x,y,z,w)=(7,-5,-6,2)}$$
すなわち、$${7^3+(-5)^3+(-6)^3=2}$$
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$${case(13.2)}$$  $${(x^3+y^3+z^3=w^3)}$$

まず、$${x=-a+b,y=c+d,z=c-d,\\w=a+b}$$と置き、元の方程式に代入すると、
$${a(a^2+3b^2)=c(c^2+3d^2)}$$となる。

次に、$${c=ka}$$と置く、すると…
$${a^2+3b^2=k(c^2+3d^2)=k(ka)^2+3kd^2}$$
つまり、$${3(b^2-kd^2)=(k^3-1)a^2}$$となる。

更に、$${k=m^2}$$とすると、
$${3(b+md)(b-md)=(m^6-1)a^2}$$
ここで、$${a=3m}$$とすると、
$${(b+md)(b-md)=3m^2(m^6-1)}$$
ここで、$${b+md=sm,b-md=tm}$$の時、
$${st=3(m^6-1)}$$

つまり、
$${a=3m,b=\frac{1}{2}(sm+tm),\\c=3m^3,d= \frac{1}{2}(s-t)}$$この値を元の
$${(x,y,z,w)}$$に代入すると、

$${x=\frac{1}{2}(s+t-6)m\\y=\frac{1}{2}(6m^3+(s-t))\\z=\frac{1}{2}(6m^3-(s-t))\\w= \frac{1}{2}(s+t+6)m}$$
となる、ただし$${st=3(m^6-1)}$$の時である。

次に$${(x,y,z,w)}$$に$${2}$$をかけて元の式に代入する。
次の恒等式になる。
$${((s+t-6)m)^3+(6m^3+(s-t))^3+\\(6m^3-(s-t))^3=((s+t+6)m)^3+144m^3(3(m^6-1)-st)}$$

次に$${s=3n,t=(m^6-1)/n}$$と置いて、
先の恒等式に代入し両辺に$${n^3}$$をかけると解が求まる。

$${x=m^7-m+3mn^2-6mn\\y=-m^6+6m^3n+3n^2+1\\z=m^6+6m^3n-3n^2-1\\w=m^7-m+3mn^2+6mn}$$

$${(m,n)=(2,2)}$$→
$${(x,y,z,w)=(126,45,147,174)}$$
すなわち、$${126^3+45^3+147^3=174^3}$$
両辺を$${3^3}$$で割って、
$${42^3+15^3+49^3=58^3}$$
が既約な解になります。
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【追記$${(29/1/2024)}$$】
$${case(13.2)}$$  $${(x^3+y^3+z^3=w^3)}$$
今回は恒等式から始めて解に到達しなかったので、
これからの課題です。
この方程式は先人達の多くの解法が知られていますので、別の機会に投稿したいと思います。
今後は同様に方程式を解く内容のものが増えます。
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