センター試験　微分積分による予測

こんにちは
今日はセンター試験の数学についてみていきたいと思います

数学IIの問題です

問
(1)sinxとsin2xの大小についていえ
sin2x-sinx=2sinxcosx-sinx
=sinx 2cosx-1　①
より
x   0  π/3 π 5π/3 2π
① 0 + 0 - 0 +  0  -  0
なので
sin2x-sinx>0となるのは
0<x<π/3 π<x<5π/3 (0<x<2π)
とわかる

(2)ソメイヨシノの開花時期について次の方法で予測せよ

ある地域では毎年３月頃　ソメイヨシノの開花予想日　が話題になる。太郎くんと花子さんは開花日時を予想する方法のひとつに　２月に入ってからの気温を時間の関数とみて　その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。

気温と時間の関係

時間軸をx　縦軸の気温をy　ととり
その関係をf(x)とし
y=f(x)とおく
この関数f(x)をもちいて　２人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした

設定
正の実数tをもちいて　f(x)を0からtまで積分した値をS(t)とする
すなわちS(t)=∫0→t f(x)dxとする
このS(t)が400に達したとき　ソメイヨシノが開花する

設定のもと　太郎くんは気温をあらわす関数y=f(x)を以下のように直線とみなして　ソメイヨシノ開花日時を考えることにした。

気温の関数を直線とみなす

太郎くんは
f(x)=1/5 x +3
として考えた
このときソメイヨシノの開花日は２月に入ってから

∫0→t 1/5 x +3 dx=[1/10 x^2 +3x]t 0
=1/10 t^2 +3t
1/10 t^2 +3t=400
より
t^2 +30t-4000=0
t=-80 50

２月に入ってから50日後とわかる

太郎くんと花子さんは２月に入ってから30日後以降の話をしている

太郎　一次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ
花子　気温の上がり方から考えて　２月に入ってから30日後以降の気温をあらわす関数が二次関数の場合も考えみようか

花子さんはf(x)を　30≦xのときは
f(x)=1/100 x^2 -1/6 x +5
として考えた
このときのソメイヨシノの開花日時を考えよう

∫0→30 f(x)dx=180
であり
∫30→40 1/100 x^2 -1/6 x +5=115
である
またx≧30でf(x)は増加する
よって
∫30→40 f(x)dx <∫40→50 f(x)dx
であることがわかる
以上から
ソメイヨシノの開花日は２月に入ってから

40日後より後　かつ　50日後より前
であることがわかる

以上です
今回とりあげたように
微分積分は実社会においても役立たされており
その例をとりあげることができ
近頃のセンター試験はすごいなと思います