2次元Ricciスカラー曲率のWeyl変換

計量$${g_{\mu\nu}}$$をスカラー関数$${\omega(x)}$$によってWeyl変換する。

$$
g_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}'=e^{2\omega}g_{\mu\nu}
$$

このとき、曲率$${R}$$について

$$
\sqrt{g'}R'=\sqrt{g}(R-2\nabla^{2}\omega)
$$

と変換される。ここで$${\nabla}$$は共変微分である。

計量のWeyl変換を行うと、計量で定義されたChristoffel記号も変換を受け、さらにChristoffel記号によって定義されるRiemannテンソル、Ricciテンソルも変換される。今回の本題であるRicciスカラー曲率(以下、曲率と略す)も上式のように変換される。

記法

ベクトル$${V^{\mu}}$$についての共変微分は接続係数をChristoffel記号として

$$
 \nabla_{\mu}V^{\nu}=\partial_{\mu} V^{\nu} +\Gamma^{\nu}_{\mu\alpha} V^{\alpha}
$$

で定義される。また、Riemannテンソルこの共変微分を用いて定義されており

$$
  [\nabla_{\mu},\nabla_{\nu}]A_{\rho}=R^{\sigma}_{\rho\nu\mu}A_{\sigma}
$$

で、これを具体的にChristoffel記号を用いて表すと

$$
R^{\mu}_{\alpha\beta\gamma} =\partial_{\beta} \Gamma^{\mu}_{\alpha\gamma}-\partial_{\gamma} \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}+\Gamma^{\mu}_{\rho\beta}\Gamma^{\rho}_{\alpha\gamma}-\Gamma^{\mu}_{\rho\gamma}\Gamma^{\rho}_{\alpha\beta}
$$

である。Ricciテンソル、曲率はRiemannテンソルの縮約により定義されて

$$
  R_{\mu\nu}=R^{\alpha}_{\mu\alpha \nu}\\
  R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
$$

よって曲率はChristoffel記号を用いて

$$
  R=g^{\mu\nu}(\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}+\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha})\qquad (1)
$$

と表示できる。

証明

Weyl変換は

$$
g_{\mu\nu}'=e^{2\omega}g_{\mu\nu}
$$

なので

$$
g'^{\mu\nu}=e^{-2\omega}g^{\mu\nu}
$$

となることに注意せよ。まずChristoffel記号の変換を考える。定義は

$$
\displaystyle  \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma}=\frac{1}{2}g^{\alpha\mu}(\partial_{\gamma}g_{\mu\beta}+\partial_{\beta}g_{\gamma\mu}-\partial_{\mu}g_{\alpha\beta} )
$$

であるから

$$
\displaystyle  (\Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma})'=\frac{1}{2}e^{-2\omega}g^{\alpha\mu}(e^{2\omega}\partial_{\gamma}g_{\mu\beta}+e^{2\omega}\partial_{\beta}g_{\gamma\mu}-e^{2\omega}\partial_{\mu}g_{\alpha\beta}\\
\qquad \qquad + 2e^{2\omega}g_{\mu\beta}\partial_{\gamma}\omega+2e^{2\omega}g_{\gamma\mu}\partial_{\beta}\omega-2e^{2\omega}g_{\alpha\beta}\partial_{\mu}\omega )
$$

と変換される。これを用いて、曲率の変換を考える。(1)式の各項に分けて計算する。

$$
\begin{align*}
  \partial_{\alpha}(\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu})'=&\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}+2\partial_{\mu}
\partial_{\nu}-g_{\mu\nu}\partial^{\alpha}\partial_{\alpha}\omega-(\partial_{\alpha}g_{\mu\nu})\partial^{\alpha}\omega\\
\partial_{\nu}(\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha})'=&\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha} + 2\partial_{\mu}\partial_{\nu}\omega\\
(\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha})'(\Gamma^{\rho}_{\mu\nu})'=&\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}+2\Gamma \partial_{\rho}\omega +\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}\partial_{\nu}\omega+\Gamma^{\alpha}_{\nu\alpha}\partial_{\mu}\omega-g_{\mu\nu}\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha}\partial^{\rho}\omega \\
&+4\partial_{\mu}\omega \partial_{\nu}\omega-2g_{\mu\nu}\partial_{\rho}\omega \partial^{\rho}\omega\\
(\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu})'(\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha})'=&\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha}+2\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\partial_{\alpha}\omega+\Gamma^{\alpha}_{\alpha\nu}\partial_{\mu}\omega+\Gamma^{\alpha}_{\alpha\mu}\partial_{\nu}\omega   \\
&+4\partial_{\mu}\omega\partial_{\nu}\omega -g_{\mu\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}\partial^{\rho}\omega-g_{\rho\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha}\partial^{\alpha}\omega -2g_{\mu\nu}\partial_{\alpha}\omega\partial^{\alpha}\omega
\end{align*}
$$

したがって

$$
\begin{align*}
  R'&=g'^{\mu\nu}\Big(\partial_{\alpha}(\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu})'-\partial_{\nu}(\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha})'+(\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha})'(\Gamma^{\rho}_{\mu\nu})'+(\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu})'(\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha})'\Big)\\
  &=e^{-2\omega}(R-2\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\omega-g^{\mu\nu}(\partial_{\alpha}g_{\mu\nu})\partial^{\alpha}\omega)
\end{align*}
$$

ここで計量の共変微分はゼロであるから

$$
  \nabla_{\alpha}g_{\mu\nu}=\partial_{\alpha}g_{\mu\nu}-\Gamma^{\rho}_{\alpha\mu}g_{\rho\nu}-\Gamma^{\rho}_{\alpha\nu}g_{\rho\mu}=0
$$

よって

$$
  g^{\mu\nu}(\partial_{\alpha}g_{\mu\nu})\partial^{\alpha}\omega=g^{\mu\nu}(\Gamma^{\rho}_{\alpha\mu}g_{\rho\nu}+\Gamma^{\rho}_{\alpha\nu}g_{\rho\mu})\partial^{\alpha}\omega=2\Gamma^{\rho}_{\alpha\rho}\partial^{\alpha}\omega
$$

さらに$${\omega}$$はスカラーであることに注意して

$$
 \nabla^{2}\omega=\nabla_{\alpha}\nabla^{\alpha}\omega=\nabla\partial^{\alpha}\omega=\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}\omega+\Gamma^{\alpha}_{\alpha\rho}\partial^{\rho}\omega
$$

と書けるため

$$
 R'=e^{-2\omega}(R-2\nabla^{2}\omega)
$$

となる。あるいは

$$
  \sqrt{g'}R'=g^{2\omega}\sqrt{g}e^{-2\omega}(R-2\nabla^{2}\omega)=\sqrt{g}(R-2\nabla^{2}\omega)
$$

となってはじめの式が示される。

まとめ

2次元のスカラー曲率がWeyl変換を受けた際の変換を示した。真面目に計算さえできれば大して難しくはないのだが、それゆえか逆に資料が少なかったので自分用の備忘録としてここにメモした。