有理数の有理数乗の和について(その2)

今回は, その1の続きです. その1の最後で触れた, $${2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{3}}}$$が無理数かという問題について書いていこうと思います. 

結論から言うと, これは無理数です. 証明を始めます. 

証明

準備として, 多項式$${p(x), q(x), r(x), s(x)}$$について, 

$$
p(x) = r(x)s(x) + q(x)
$$

が成り立つとき, 

$$
p(x) = q(x)\quad\mod r(x)
$$

と書くことにします. 
次の補題を示します. 

補題
$${5}$$次以下の多項式$${f(x)}$$であって, 

$$
f(x^2 + x^3) = c \quad\mod(x^6 - 2)
$$

なる$${c}$$が存在するようなものは存在しない. 

補題の証明

$$
f(x^2 + x^3) = (x^6 - 2)g(x) + c
$$

と仮定すると, 

$${\alpha = 2^{\frac{1}{6}}}$$として, 

$$
f(\alpha^2 + \alpha^3) = f(\alpha^2e^{\frac{2\pi i}{3}} + \alpha^3e^{\pi i}) = f(\alpha^2e^{\frac{4\pi i}{3}} + \alpha^3e^{2\pi i}) = f(\alpha^2e^{2\pi i} + \alpha^3e^{3\pi i}) = f(\alpha^2e^{\frac{8\pi i}{3}} + \alpha^3e^{4\pi i}) = f(\alpha^2e^{\frac{10\pi i}{3}} + \alpha^3e^{5\pi i}) = c
$$

が成り立つので, 

$${\alpha^2 + \alpha^3, \alpha^2e^{\frac{2\pi i}{3}} + \alpha^3e^{\pi i}, \alpha^2e^{\frac{4\pi i}{3}} + \alpha^3e^{2\pi i}, \alpha^2e^{2\pi i} + \alpha^3e^{3\pi i}, \alpha^2e^{\frac{8\pi i}{3}} + \alpha^3e^{4\pi i}, \alpha^2e^{\frac{10\pi i}{3}} + \alpha^3e^{5\pi i}}$$は全て$${f(x) - c = 0}$$の解です. ところが, $${\alpha^2 + \alpha^3, \alpha^2e^{\frac{2\pi i}{3}} + \alpha^3e^{\pi i}, \alpha^2e^{\frac{4\pi i}{3}} + \alpha^3e^{2\pi i}, \alpha^2e^{2\pi i} + \alpha^3e^{3\pi i}, \alpha^2e^{\frac{8\pi i}{3}} + \alpha^3e^{4\pi i}, \alpha^2e^{\frac{10\pi i}{3}} + \alpha^3e^{5\pi i}}$$は計算するとすべて相異なるので, $${f(x)}$$が$${5}$$次以下であることに矛盾. 
よって, 補題が示されました. 

$${F_1(x) = x^2 + x^3}$$として, $${F_n(x) = F_1(x)^n}$$と定義します. 
また, 有理数の定数$${r_0, \dots, r_5}$$と変数$${x_1, \dots, x_5}$$を用いて, $${\displaystyle f(x_1, \dots, x_5) = r_0 + \sum_{i = 1}^{5}r_ix_i}$$と表される関数$${f}$$全体の集合を$${S(x_1, \dots, x_5)}$$とします. すると, 

$$
f_n(x, \dots, x^5) = F_n(x)\quad\mod(x^6-2)
$$

なる$${f_n\in S(x_1, \dots, x_5)}$$が各$${F_n}$$について一つずつ存在するので, そのように$${f_n}$$をとります. 

$$
f_n(\alpha, \dots, \alpha^5) = p^n\in\mathbb{Q}
$$

が任意の$${1}$$以上$${5}$$以下の整数$${n}$$について成り立つので, これらの式が$${\alpha, \dots, \alpha^5}$$を独立変数だと思ったときに全て独立であれば, 解いて$${\alpha\in\mathbb{Q}}$$を導き, 一方で$${\alpha\notin\mathbb{Q}}$$が容易に証明できるので, 矛盾です. よって, ある実数$${q_1, \dots, q_5}$$があって, 

$$
\displaystyle\sum_{n = 1}^{5} q_nf_n(x, \dots, x^5) = c
$$

なる$${c}$$が存在しなければなりませんが, $${f_n}$$の定義を思い出すと, 結局

$$
\displaystyle\sum_{n = 1}^{5} q_n(x^2 + x^3)^n = c\quad\mod(x^6 - 2)
$$

であって, $${g(x) = \displaystyle\sum_{n = 1}^{5} q_n x^n}$$は$${5}$$次以下の多項式なので, 補題に矛盾. よって, 示されました. 

疲れたので終わります. ところで, ディスプレイ数式モードでのalign環境の使い方が分からないのと, ディスプレイ数式モードが使えない場合があるので, どなたか有識者さんがいれば教えて頂きたいです. 
その3に続きます.