3度の作図
中学1年のとき、なぜか作図にハマっていました。
今回はそのときに見つけたお話をしようと思います。
問題
今回は$${3^{\circ}}$$の作図方法を紹介します。
作図のルール
定規とコンパスのみで作図する。
正五角形の作図
正五角形の対角線の長さ
一辺の長さが1の正五角形を考える。
三角形ABJと三角形ACDは相似である。また、三角形DJCは$${\text{DJ} = \text{DC} = 1}$$の二等辺三角形である。
よって、対角線ACの長さを$${x}$$とすると、
$$
\begin{split}
\text{AB}:\text{AC} &= \text{BJ}:\text{CD} \\
1 : x &= x-1 : 1
\end{split}
$$
より、
$$
\begin{split}
x(x-1) &= 1 \\
x^2 - x + 1 &= 0 \\
x &= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}
\end{split}
$$
$x>0$より、
$$
x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
$$
となる。
正五角形の作図方法
1辺CDを設定する。
線分CDの垂直二等分線を引く。
その垂直二等分線上にCD=MXとなる点Xをとる。
直線CX上にCM=XA'となる点A'を図のようにとる。
2で引いた垂直線二等分線上にCA'=CAとなる点Aをとる。
AB=BC=CD=DE=EAとなるように点Bと点Eをとる。AB→BC→CD→DE→EAで線を結ぶ。
正五角形になる理由
CDの長さを1とする。このとき、
$$
\text{MX}=1, \text{CM} = \frac{1}{2}
$$
なので、三平方の定理より、
$$
\begin{split}
\text{CX} &= \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \\
&= \frac{\sqrt{5}}{2}
\end{split}
$$
$${\text{XA}' = \text{XA} = \frac{1}{2}}$$ より、
$$
\text{AC} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
$$
これで、対角線ACを作図することが出来たので、$${\text{BA}=\text{BC}=1}$$となる点Bと$${\text{EA}=\text{ED}=1}$$となる点Eを作図すると五角形ABCDEは正五角形となる。
3度の作図
以下を利用して作図する。
正五角形の内角は$${108^{\circ}}$$
正六角形の内角は$${120^{\circ}}$$
作図方法
正六角形を作図する。
1で作図した正六角形の一辺を利用して、正五角形を作図する。
正五角形と正六角形の間に出来た角度は$${120-108 = 12^{\circ}}$$。
$${12^{\circ}}$$の角の二等分を2回行うと$${3^{\circ}}$$となる。
最後に
今年の数学に関しての投稿は今回で終えたいと思います。
また来年ぼちぼち書いていこかと思います。
今年8月ごろからnoteを始めてほぼ週一で投稿してきました。(たまに、コメント投稿で誤魔化しているけど、、、)
これまでの記事を読んでくださった方、ありがとうございます。
来年は週一投稿はやめ、何か書きたくなった時、のんびり投稿していこうかと思っています。
最後まで読んでくださりありがとうございます。
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