忙しい人のための中学数学【式の計算（計算ルール編）】

〜今回のテーマ〜
単項式や多項式の計算ルールを覚えよう。

はじめに

　このシリーズでは、各教科・各単元に登場する基本事項（用語やその定義、公式等）を中心にまとめていきます。
　現役中学生・高校生の軽い予習・復習、テスト勉強の最終確認はもちろん、「社会人枠で受験することになったから入試対策をしたい」、「子どもの勉強をサポートしてあげたい」等といった大人の皆さんもよろしければご活用ください。

　どの単元の学習でも基本を理解し、問題の中で使いこなせるようになることは、とても大切なことです。ある単元で学習したことが、別の単元で活かされることもたくさんあります。1つ1つ積み上げていきながら、土台を固めながら学習を進めていきましょう！

※できるだけ「わかりやすく」を目指していますが、今回のシリーズはあくまでも「忙しい人のための」シリーズなので、細かい部分まではまとめきれないこともあります。「もっと掘り下げて学習したい！」という人は、各自教科書や参考書、問題集等を活用しましょう。

　文字ばかりで難しく感じるなぁという人は、声に出して読んでみることをオススメします！

その他の単元や計算問題はこちら

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　1年の学習単元にある「文字式」の計算と共通する部分が多いです。こちらも合わせてどうぞ。

同類項をまとめる

○文字を含む式の加法・減法は、同類項の係数の部分を計算していきます。

〈具体例1〉

　2a+5b−7a+3b
=（2a−7a）+（5b+3b）
=（2−7）a+（5+3）b
=−5a+8b

→説明用に少々細かく途中式を載せてみました。なれてきたら2〜3行目の式は省略しても大丈夫です。もったいない計算ミスには気をつけましょう！

〈具体例2〉

　2x²+3x−4−9x²+5x+1
=（2x²−9x²）+（3x+5x）+（−4+1）
=（2−9）x²+（3+5）x+（−4+1）
=−7x²+8x−3

→「x²」と「x」のように、アルファベットは同じでも、次数が違うときは同類項ではありません。間違ってまとめてしまわないように気をつけましょう！

多項式の計算

○数×多項式、多項式×数は分配法則で計算します。

〈具体例〉

　3(3x+5y)
=3×3x+3×5y
=9x+15y

　−2(4a−9b)
=−2×4a+(−2)×(−9b)
=−8a+18b

　(−5x−2y)×4
=(−5x)×4+(−2y)×4
=−20x−8y

　(7a+b)×(−6)
=7a×(−6)+b×(−6)
=−42a−6b

○多項式÷数も分配法則の考え方です。

〈具体例〉

　わる数が整数の場合は、

の考え方で分数の形にすると良いです。約分できる場合は約分も忘れずに。
　わる数が分数の場合は、逆数をかける形で計算していきましょう。
（使い分けがややこしい！という人は、全て「逆数をかける」で計算していきましょう。ぶっちゃけどちらも同じことです。）

○かっこを含む式の計算は、分配法則で計算したあと、同類項をまとめていきます。

〈具体例〉

　3(2a+4b)+2(5a+3b)
=3×2a+3×4b+2×5a+2×3b
=6a+12b+10a+6b
=16a+18b

　慣れてきたら2行目の途中式は省略して大丈夫です。暗算する場合は計算ミス・符号のミスに気をつけましょう。

　5(x+3y)−(4x+9y)
=5x+15y−4x−9y
=x+6y

　−2(2a−4b)+6(−3a−5b+8)
=−4a+8b−18a−30b+48
=−22a−22b+48

　分数を含む式の計算も、下の画像のように分配法則で計算していきます。

○次の具体例のような式は、分数の通分に注意して計算しましょう。

〈具体例〉

　分数のたし算なので、通分する必要があります。
このとき、分子の計算に注意してください。
　勤務先の学習塾で見たことのある間違い例がこちら。

　「左の分数は分母も分子も2倍して、右の分数は分母も分子も5倍すればいいんだよね！」という考え方は合っていました。しかし……上の画像のような書き方、どこか間違いなのかわかりますか？四則の混じった計算やかっこを含む式の計算のルールを思い出しつつ、分子の計算に注目してみてください。左の分数だとyが2倍に、右の分数だと3yが5倍になっていませんよね？

　このタイプの分数の計算を進めるときには、上の画像のように、分子をかっこでまとめて、分配法則を活用して通分しましょう。

　慣れてきたら暗算で通分する人もいるかと思いますが、暗算の場合も計算し忘れ等に気をつけましょう。

　ちなみにこの分数の計算、次のような書き方もできます。

　かっこを含む式の計算（分数バージョン）と考えることもできるのです。ちなみに、答えの書き方も違って見えますが、全く同じものを表しています。「10分の……」でひとまとめにするか、xの項とyの項とで分けて書くかの違いです。

　また、答えの分数の約分の仕方にも注意が必要です。

　上の画像のような約分の仕方は間違いです。

　例えば、下の画像のような答えになったとしたら……

分母の10も分子の16xも18yも、全て2でわることができる→それぞれ2でわります。

　分母と一部の分子しか約分できない、という場合は約分せずに計算を終えて大丈夫です。もしくは、項を分けて、約分できる分数だけ約分すると良いでしょう。

　上の画像でいうと、1行目でストップするか、2行目のように分けて書いて約分するかのどちらかです。

単項式の計算

○単項式の乗法は、係数同士をかけ算して、さらに文字もかけ算します。
　たし算・ひき算のときと違い、同類項でなくても計算することができます。たし算・ひき算のルールと混ざらないよう気をつけましょう！

〈具体例〉

　2a×5b
=2×a×5×b
=2×5×a×b
=10ab

　7x×3y
=7×3×x×y
=21xy

　4a×(−5b)
=4×(−5)×a×b
=−20ab

　(−7x)×(−2x)
=(−7)×(−2)×x×x
=14x²

○指数を含む計算は次のようにします。

〈具体例〉

　(2a)²
=2a×2a
=2×2×a×a
=4a²

　(7x)²
=7x×7x
=7×7×x×x
=49x²

　(−3a)²
=(−3a)×(−3a)
=(−3)×(−3)×a×a
=9a²

　(−10x)²
=(−10x)×(−10x)
=(−10)×(−10)×x×x
=100x²

　−(5a)²
=−(5a)×(5a)
=−25a²

　−(−8x)²
=−(−8x)×(−8x)
=−64x²

○単項式の除法は、「逆数をかける」という解き方を応用して、「A÷B=B分のA」と分数の形に変えて計算していきましょう。

〈具体例〉

　分数を含む式の場合は、わる数を逆数にしてかければ大丈夫です。

〈具体例〉

○乗法と除法が混じった計算の場合も、逆数をかける計算に変形させて解きます。

〈具体例〉

　3つの式の除法の場合も、「÷○」の部分を「×逆数」に変形させて、乗法の計算を進めます。

〈具体例〉

　ちなみに、上の「乗法と除法が混じった計算」と「3つの式の除法」について、分数を含まない式の場合は、2行目の途中式を省略することもできます。次の画像の式の作り方を覚えてみましょう。

「÷○」の項は分数の分母へ、式の頭の項と「×○」の項は分数の分子へ振り分けます。そして、それぞれかけ算の計算をします。

式の値

　「次の式の値を求めなさい。」という問題があります。その解き方は次の通りです。

〈具体例〉

　a=3、b=−2のとき、次の式の値を求めなさい。

　2a+5b−a+3b

　まずは、普通に文字式の計算を進めます。同類項をまとめていきましょう。

　2a+5b−a+3b
=a+8b

　次に、この「a+8b」のaとbにそれぞれ対応する数字を代入します。a=3、b=−2なので……

　a+8b
=3+8×(−2)
=3−16
=−13

　手順としては、
①文字式の計算を進める。
②同類項をまとめて式を簡単にしたあと、それぞれの文字に代入して計算する。

　ちなみに、いきなり代入しても答えは出せます。試しに解いてみると……。

　2a+5b−a+3b
=2×3+5×(−2)−3+3×(−2)
=6−10−3−6
=−13

　しっかり答えは一致しましたね。しかし、いきなり代入すると、問題によっては計算がちょっと面倒になることがあります。こまごまとしたかけ算の計算が増える分、もったいないミスに繋がりやすいかと……。

　さらに例題を載せてみます。

x=−5、y=3のとき、次の式の値を求めなさい。
　
　3(2x+5y)−5(−4x+y)
=6x+15y+20x−5y
=26x+10y
=26×(−5)+10×3
=−130+30
=−100

※ちなみに、いきなり代入したバージョンはこちら。

　3(2x+5y)−5(−4x+y)
=3×{2×(−5)+5×3}−5×{(−4)×(−5)+3}
=3×(−10+15)−5×(20+3)
=3×5−5×23
=15−115
=−100

いきなり代入したバージョンは、ちょっと式が長くなりますね。符号ミス、代入する場所や代入する数字の勘違い等が起こりやすいかなぁと。注意が必要です。

　教科書的には「式を簡単にしてから代入する」という解き方ですが、1度両方のパターンで解いてみて「どちらが自分にとって解きやすいか」を確認してみるのが良いでしょう！