2020年 日本数学オリンピック本選 第２問 解答例
$${BC < AB, BC < AC}$$なる三角形$${ABC}$$の辺$${AB, AC}$$上にそれぞれ点$${D, E}$$があり、$${BD = CE = BC}$$をみたしている。直線$${BE}$$と直線$${CD}$$の交点を$${P}$$とする。三角形$${ABE}$$の外接円と三角形$${ACD}$$の外接円の交点のうち$${A}$$でない方を$${Q}$$としたとき、直線$${PQ}$$と$${BC}$$は垂直に交わることを示せ。ただし、$${XY}$$で線分$${XY}$$の長さを表すものとする。
考え方：
あまり解説できることがありません・・・地道に角度を追って
同一円周上にある点の組み合わせを発見していくだけです。
点が多いので使える組み合わせを見つけるのが大変ですが、
地道に情報を増やしていきましょう。
解答例：
三角形$${ABE}$$の外接円の中心を$${O_1}$$とし、
三角形$${ACD}$$の外接円の中心を$${O_2}$$とする。
$${O_1E = O_1B}$$であり、$${EC = BC}$$であるから、
三角形$${O_1EC}$$と三角形$${O_1BC}$$は合同である。
よって、
$$
\begin{align*}
\angle O_1AE &= \angle O_1EA\\
&= 180^{\circ} - \angle O_1EC \\
&= 180^{\circ} - \angle O_1BC
\end{align*}
$$
となるので、$${O_1, A, C, B}$$は同一円周上にある。
同様にして$${O_2, A, B, C}$$も同一円周上にあることが導かれ、
よって$${O_1, O_2, A, B, C}$$は同一円周上にあることがわかる。
$${AO_1 = BO_1}$$であるから、
$${\angle BO_2O_1 = \angle AO_2O_1 = \angle QO_2O_1}$$であるため、
$${B, Q, O_2}$$は同一直線上にある。
同様にして、$${C, Q, O_1}$$も同一直線上にあることがわかる。
$${CO_1}$$と$${BE}$$の交点を$${S}$$とし、
$${BO_2}$$と$${CD}$$の交点を$${T}$$とする。
三角形$${O_1BC}$$と三角形$${O_1EC}$$が合同であるから、
$${\angle BSC = 90^{\circ}}$$となる。
同様に、三角形$${O_2CB}$$と三角形$${O_2DB}$$が合同であるから、
$${\angle BTC = 90^{\circ}}$$となる。
よって$${Q}$$は三角形$${PBC}$$の垂心であるため、
$${PQ}$$と$${BC}$$は垂直である。
コメント：
図を正しく書くと$${Q}$$が$${CO_1}$$と$${BO_2}$$の交点に自然となってしまい、
前提として処理してしまいそうになりますが、
証明するまではこれを利用してはいけません。
あえてずらした図を描いて考えた方が安全かもしれませんが、
加減が難しいところです。
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