【最尤法について📊】対数尤度関数の最尤推定値が有する意味とは？：計量経済学✨No.30

2023年10月5日 16:05

Introduction：計量経済学への挑戦🔥

経済学部に通う私も
いよいよ大学「学部」最終年になり
学問に全力を注ぐ時間も限られてきました👍

「知は力なり」という言葉を信じて
残りの大学生生活を満喫したいと思います

学部レベルのマクロ経済学は
個人的によく理解できたつもりです

しかしながら、本当の経済の動向を理解するには、学部レベルの知識ではお話になりません😥
また、正しい計量経済学の知識やデータ分析のリテラシーを会得しなければなりません💦
現実の経済データを、理論モデルと当てはめ
正しい計量手法によって実証分析できる力を醸成したら
きっと将来どこかで活躍できる人財になれる可能性を高めることに繋がると思います

実際の経済動向や政治と結びつけながら
応用できる能力がなければ
知識を持つ意義も小さくなってしまいます💦

何事もアウトプット前提のインプットが
大事であると、noteで毎日発信してきました

これは、どのような内容で
あっても当てはまります👍

先行研究の論文を一概に読んでも
記憶に残っていなかったり
大切な観点を忘れてしまっていたりしたら
学習の進捗は滞ってしまうと思います

だからこそ、この「note」をフル活用して
自分の知識を1％でも、定着させ
誰にでもわかりやすい解説をアウトプットできるように努めていきたいと思います

私がこれからアウトプットする
計量経済学において最重要なパートである
時系列分析のモデル理論解説を
どうぞ最後まで、ご愛読ください📖
本投稿作成における参考文献は以下の通りです

前回のお復習い✨

最尤法(Maximum Likelihood Method)とは？？✨

今回の投稿から、実証分析のエッセンスとして最尤法(Maximum Likelihood Method)をご紹介します

そして、最尤法について正しく理解し、実証分析の際に適切な解釈ができるようになるレベルまでアウトプットしていくことにします

今回の投稿を作成する上で参考にしたリンクは以下の通りです📝

最尤法とは、最小二乗法、モーメント法、一般化積率法のような未知パラメーターの推定方法の1つです

今回の投稿では、対数尤度関数について、そしてこの関数の推計方法についてアウトプットします

対数尤度関数(log likelihood function)

最尤法による推定では尤度関数を最大にする未知パラメーターの値を見つける必要があります

この時、尤度関数をそのまま最大化するよりも、尤度関数の対数を取ったものを最大化する方が計算が簡単になると言われています

尤度関数の対数をとったものは、対数尤度関数(log likelihood function)と呼ばれます

また、対数変換は単調増加変換ですので、尤度関数を最大にするパラメータの値は対数尤度関数を最大化するパラメーターの値と一致することになります✨

最尤推定の例

以下では、次の条件のもとで最尤推定の例を取り上げます
Xi , i =1,…, n は、ベルヌーイ分布 Pr(Xi =1) = p に従う i.i.d. 確率変数であるとしましょう
この時、未知パラメーター p を最尤法によって推定してみるというプロセスを考えます

まずは、Xiがj=0,1をとる確率は(1)式のように表せるので、Xiの確率関数は(2)式となります
したがって、対数尤度関数は(3)式のようになるのです📝

$$
\\Pr(X_i =j)=p^j(1-p)^{1-j}\cdots(1)\\ \\Probability Function of X_i\\f(x_i;p)=p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}\cdots(2)\\ \\ \\Log Likelihood Function: log L(p)\\=log f(x_1,x_2,…,x_n;p)\\=log f(x_1;p)f(x_2;p)…f(x_n;p)\\=log f (x_1 ; p) + log f (x_2 ; p) + … + log f (x_n ; p) \\ \\=x_1 log p + (1 – x_1 ) log (1 – p ) + … \\ + x_n log p + (1 – x_n ) log (1 – p)\\ \\=log p \sum_{i=1}^nx_i+log(1-p)\sum_{i=1}^n (1-x_i)\cdots(3)
$$

よって、(3)式のように表記される対数尤度関数を最大化するpの値は、以下の1階の条件(4)式やプロセスを経て、(5)式のような値が推定されます

$$
\\F.o.c for Maximization of log L(p)\\ \\{\large \frac{dlog L(p)}{dp}=\frac{\sum_{i=1}^n }{p}-\frac{\sum_{i=1}^n(1-x_i)}{1-p}} =0\cdots(4)\\ \\solving for formular (4)\\ \\\hat{p}_{MLE}={\large\frac{1}{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^nX_i\cdots(5)
$$

これ(5)が、 pの最尤推定量となります
これは、なんと標本平均と一致していることがわかります

つまり、このケースにおいて、標本平均は最尤法による推定量になっているということが明らかになるのです

本日の解説はここまでとします
ぜひ、計量経済学やデータ分析の手法を習得して、客観的事実に基づく見解を持つことができるような自分へと成長しましょう🔥

計量経済学を学ぶ意義について✨

計量経済学が時系列解析法を「理論なき計測」として退けるところからスタートしたことでよく知られているのです

1930年に創立された計量経済学会の規約第1条では、計量経済学は「理論的数量的アプローチと経験数量的アプローチの統一」と定義されていました📝

また、R・フリッシュによる『エコノメトリカ』創刊の辞では、「統計学、経済学、数学の三者の統合」と定義されているのです👍

このような定義においては、当時のハーバード景気予測に代表される時系列解析法への批判が強く意識されていたとされています

すなわち、それが29年の大恐慌の予測に失敗したのは，経済理論を無視し、時系列データの形式的な解析のみに終始したからであったということです

今後はそうした「理論なき計測」の立場を退け、「理論に基づく計測」を重視していかなければならない、という見解の重要性が増しています
このような歴史を経て、計量経済学はスタートをきったのでした

そして、何よりマクロ経済変数は
その多くが互いに影響を及ぼし合う相互依存の関係にあり、また過去の変化の影響が持続するという傾向を持ちます

これらの動向を分析したり、将来を予測したりできるようになるためには、計量経済学、ひいては「時系列分析」に対する理論や正しい実証手法への理解が必要不可欠となります

「計量経済学」シリーズの投稿では、こうしたマクロ時系列変数の実証分析に必要な計量理論と手法を習得することを目的とします

今後とも私がアウトプットする
時系列マクロ経済分析に関する内容について
最後までご愛読いただけますと幸いです💖

付録：私の卒論研究テーマについて🔖

私は「為替介入の実証分析」をテーマに
卒業論文を執筆しようと考えています📝

日本経済を考えたときに、為替レートによって
貿易取引や経常収支が変化したり
株や証券、債権といった金融資産の収益率が
変化したりと日本経済と為替レートとは
切っても切れない縁があるのです💝
（円💴だけに･･･）

経済ショックによって
為替レートが変化すると
その影響は私たちの生活に大きく影響します

だからこそ、為替レートの安定性を
担保するような為替介入はマクロ経済政策に
おいても非常に重要な意義を持っていると
推測しています

決して学部生が楽して執筆できる簡単なテーマを選択しているわけでは無いと信じています

ただ、この卒業論文をやり切ることが
私の学生生活の集大成となることは事実なので
最後までコツコツと取り組んで参ります🔥

本日の解説は、以上とします📝

今後も経済学理論集ならびに
社会課題に対する経済学的視点による説明など
有意義な内容を発信できるように努めてまいりますので、今後とも宜しくお願いします🥺

最後までご愛読いただき誠に有難うございました！

あくまで、私の見解や思ったことを
まとめさせていただいてますが
その点に関しまして、ご了承ください🙏

この投稿をみてくださった方が
ほんの小さな事でも学びがあった！
考え方の引き出しが増えた！
読書から学べることが多い！
などなど、プラスの収穫があったのであれば

大変嬉しく思いますし、投稿作成の冥利に尽きます！！
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今後とも何卒よろしくお願いいたします！

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