【線形代数基礎】行列演算・行基本変形・掃き出し法・階数・行列式・固有値・固有ベクトル・対角化

線形代数とは何か

ベクトル空間と線形写像の性質を研究する数学の一分野。主に行列、ベクトル、線形方程式系を扱い、科学や工学、経済学などさまざまな分野で広く応用されている。

線形（Linear）

「線形」とは、ある種の直線性を持つ性質を意味する。具体的には、関数や写像が以下の条件を満たす場合に線形と呼ばれる。

• 加法に対して閉じている：f(x+y)=f(x)+f(y)

• スカラー倍に対して閉じている：f(cx)=cf(x)

これらの性質を満たす関数や写像を線形と呼び、これを用いたモデルや方程式は線形方程式と呼ばれる。

一次関数は線形関数。一次関数の高次元バージョンが、行列による関数、線形関数。

二次関数や三角関数は非線形関数

代数（Algebra）

「代数」とは、数や量の一般化された操作を扱う数学の一分野。基本的な代数の操作には、加法、減法、乗法、除法がある。代数は数だけでなく、文字や記号を用いて数式を表現し、さまざまな法則を使って計算や操作を行う。代数の目的は、数式を操作することで解を求めたり、式の構造を理解したりすること。

線形代数では、これらの代数の概念をベクトルや行列に適用し、ベクトル空間内での操作や関係を調べる。行列を用いた計算や、ベクトル空間の基底、次元、直交性などの概念が重要な役割を果たす。

ベクトル（Vector）

• いくつかの数の組みで、大きさと方向を持つ量を表す

行列（Matrix）

• 数字を行と列に並べたもの。ベクトルも行列の一部。

• 行列の積はベクトルXを別のベクトルy=Axに変換する。行列によって、拡大縮小、反転、回転、剪断が表現できる。

線形代数の応用分野

コンピュータ科学と機械学習

• データの表現や操作、アルゴリズムの設計において行列やベクトルが広く使用される。

• 機械学習のモデル（例えば、ニューラルネットワーク）は、重み行列を用いて入力データを処理する。

物理学

• 力や運動、電場や磁場などの物理量をベクトルや行列を用いて表現する。

• 量子力学では、状態ベクトルや行列演算が重要な役割を果たす。

経済学

• 経済モデルや最適化問題の解法において、行列やベクトルを使用する。

• 例えば、入力出力分析では産業間の取引を行列表現する。

グラフィックスと画像処理

• 3Dグラフィックスのレンダリングや画像のフィルタリングにおいて、行列変換が使用される

• アフィン変換や射影変換などの幾何変換を行列で表現する。

システム工学

• 制御理論において、状態ベクトルや伝達行列を用いてシステムの動作を記述する。

• ロボティクスにおいても、ロボットの位置や姿勢をベクトルと行列で表現する。

統計学

• 多変量解析では、データを行列として扱い、主成分分析や因子分析などの手法を適用する。

• 回帰分析においても、行列演算を用いてモデルのパラメータを推定する。

連続的な問題である微分方程式を、極限まで拡大することで離散化して、数字で直線として扱うようにすることで、線形代数で解けるように単純化する

微分方程式の離散化

• 微分方程式は連続的な関数の変化を表現するが、これを有限差分法（関数の連続的な変化を、有限な差分で近似）や有限要素法（領域を小さな要素に分割し、それぞれの要素内で関数を近似する）などを用いることで、離散化することで数値的に解くことができるようになる。離散化した微分方程式は、しばしば連立一次方程式の形になるので、これを行列形式で表現し、線形代数を用いて解くことが可能になる。

行列演算の性質

• 結合法則・交換法則・分配法則は普通の数と同じ。

• 積は可換ではない（非可換）：AB≠BA →普通の数と異なり、「左からかける」「右からかける」を区別する必要がある

行基本変形

文字通り、行列の行に対して行う基本的な操作のこと。これらの操作を用いることで、行列を簡単な形に変換することができ、連立一次方程式の解法や行列の階数を求める際に役立ちつ。行基本変形には次の3種類がある

• 行の交換:2つの行を入れ替える。Ri↔Rj

• 行の定数倍:ある行を0でない定数で掛ける。Ri→kRi

• 行の加減:ある行に別の行の定数倍を加える。Ri→Ri + kRj

列基本変形も行基本変形と同様に定義できるが、連立方程式の解法や行列のランク計算・逆行列の計算に不便という観点で、行基本変形が用いられることが多い。

掃き出し法（ガウスの消去法）

行基本変形を用いて行列を階段行列（上三角行列）に変換する手法。この方法は、連立一次方程式の解法や行列の階数、逆行列を求めるために用いられる。

係数行列：連立一次方程式の係数だけを取り出して行列として表現したもの

定数項ベクトル：連立一次方程式の右辺にある定数項を集めて作られるベクトル。各方程式の右辺に相当する

拡大係数行列は、係数行列に定数項ベクトルを追加して拡張した行列。これにより、連立一次方程式全体を1つの行列で表現することができる

連立方程式の解が一意に定まるか，不定の解が求まるか，解がないか（不能）は，拡大係数行列のランクと係数行列のランクに依存する。

階数（rank）と一意・不定・不能の関係

行列の階数は、行列の本質的な次元を示し、、

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