確率分布（連続型編）

では前回離散型の確率分布について紹介しました。連続型の確率分布をサラッと紹介します。詳しくは一つ一つ紹介します。（でないときつい）

まず連続型の確率分布を確認します。

・正規分布
・指数分布
・ガンマ分布
・対数正規分布
・ベータ分布
・ワイブル分布
・コーシー分布
・パレート分布

・正規分布

正規分布は代表的な連続型の確率分布です。誰もが一度は聞いたことがあると思います。又の名をガウス分布と言います。自然界や人間社会の数多くの現象に当てはまりますが万能ではありません。

では簡単に性質を紹介します。ここら辺は以下の記事で説明しています。

・平均値＝中央値＝最頻値となる。
・左右対称になる
・分散が大きくなると山は緩くなり、小さくなると山は尖った形になる

また平均値を0分散を1に変換したものを標準正規分布と呼びます。

また正規分布と言えば3σ範囲と言います。σは標準偏差を示していて平均からどれくらい離れているかを示しています。1σで68％、2σ95％、3σで99.7％の確率で入ります。ここら辺についても後で正規分布で一つとって説明します。今はそんなのがあるんだな的な感覚で大丈夫です。

最後に特に重要なことを説明します。それが中心極限定理というものです。これも後でまた説明しますが（ざっとの理解なので）、n（試行回数）が多くなるほど正規分布が出現するという定理です。

・指数分布

指数分布は離散型の確率分布の幾何分布と性質が似ています。またの名を同じように待ち時間分布と呼ばれています。例えば、ある家具などの寿命。耐久年数とかで使われます。

・ガンマ分布

次にガンマ分布です。性質としては確率変数が負にならないということです。また指数分布を一般化した分布とも言えます。前回の離散型の確率分布を見て下さったなら何かに気づくと思います。

そうです。幾何分布と負の二項分布（パスカル分布）です。こちらも幾何分布を一般化したのが負の二項分布でした。確率密度関数の式のαを1に設定したら指数分布になります。

例えば体重やウイルスの潜伏期間などがこの分布に従います。生物学や経済学などの様々な分野で汎用的に使われています。

・ベータ分布

次にベータ分布は特にベイズ統計で役割を果たします。

・コーシー分布

コーシー分布は期待値や分散も存在しないが正規分布に似ているというのが特徴です。しかし最頻値と中央値は定義することができます。これも語ると長くなってしまうのでそういうものだと思ってください笑。

・対数正規分布

この分布を説明するためにまず対数について説明します。単調増加・掛け算が足し算に変わる・絶対値が極端に小さくなりにくいといった性質があります。こうすることで計算が簡単になります。

特に所得分布で使用されます。所得は低い方は限度がありますが、高い方は正直上限がありません。何億だって稼ぐ人だっていますよね。そういった場合に使用されます。

・パレート分布

この分布は元々高額所得者の所得分布を表しています。先程の対数正規分布は全体だったのに対して、こちらは一部の高額所得者当てたものです。

・ワイブル分布

最後にワイブル分布です。Wikipediaによると時間に対する劣化現象や寿命に使われます。