代数学の基本定理

今日もまたまた数学ネタで。
さっそく定理の紹介。

代数学の基本定理

複素係数のn次方程式は複素数の範囲で根をもつ。

よく代数学の基本定理は「重解を許してn個の解を持つ」とされているが、それは上の定理の系として自然に導かれることに注意する。

この定理の証明をしたいのだが、、
ぱっと見は代数っぽく見えるはずだ。
そもそも「代数学の」基本定理だし。
だから当然代数的に証明することもできるが、それだとなんも面白くないので解析的な証明を与えよう。

まず準備として

定理(Cauchyの積分定理)

正則な関数を周回積分すると0

まあほんとはもっと厳密な主張だが感覚で。
そこから導かれる定理としてCauchyの積分公式がある。
さらにCauchyの評価式を使うと以下の定理が従う。

定理(リウビルの定理)

有界な整関数は定数関数

今更だが
「正則」とは複素微分可能であることで、
整関数は複素数全体で正則な関数のことである。

さて、この定理は実数世界では考えられないはずだ。
例えばsinxを考えてみよう。
これは有界でしかも微分可能だが、どう考えても定数関数でない。
リウビルの定理は複素数ならではの話なのだ。

さてリウビルの定理を使って代数学の基本定理を示そう。

f(z)を複素係数のn次多項式とする。
これが零点を持たないとしよう(背理法)
f(z)は多項式なので複素数全体で正則で、
g(z)=1/f(z)とおくと、g(z)はf(z)が零点を持たないことから複素数全体で正則。
また頑張って計算するとg(z)の有界性も言える。
よってリウビルの定理よりg(z)は定数関数。
よってf(z)も定数関数だが、f(z)はn次関数だったので矛盾。

(よってf(z)は零点を持ち、つまり根を持つ)

複素関数を使うことで代数的なことをせず証明することができた。

あとがき的な

まあこんなの調べたら出てくるよ！って話かもしれないけど、自分の言葉で書いてみるのが大事だと思ったから書いてみた。

複素関数論は工学部の人なども勉強していると思うが、応用チックなものが多く、案外こういったことはしてないんじゃないか？と思ってやってみた。
複素関数論における最強の定理は
Cauchyの積分定理
ここから理論が始まるといっても過言ではない(らしい)。

Cauchyの積分定理はYouTubeなどでも証明がたくさんされているがC^1級を仮定してグリーンの定理を使う人が多いような気がする。
実用上それで問題ないのかもしれないが、C^1級なんて強い仮定を付けなくても証明はできます。
だからこそここから始まるのかもしれない。

他にも無限積や解析接続、部分分数展開などたくさんのことが複素関数論で学べる。

その何気なく行ってる部分分数分解も実は複素関数論で証明出来てしまう。

ぜひ複素数と仲良くなりましょう！