DCTとガンマ関数

今回はLebesgueの収束定理で遊んでみる。

まず定理について紹介しておく。

さて、これを踏まえて大分大学医学部の2014の問題を超絶改変して解いてみよう。

大学入試の問題だが以下の答案では全然Taylor展開などを使っている。

さて本題は(3)である。
もちろん原型はほぼないくらいに変えているので、これを高校生が解ける必要は1mmもない。
ただ誘導が使えそうだったのと、この問題のとても易しいバージョンが元の(3)だったから採用しただけだ。

さてポイントは二つある。
指示関数を使うことと、$${e^x≧1+x}$$を使うこと。
では実際に解答を見てみよう。

あとがき的な

Lebesgueの収束定理は積分と極限という二つの極限操作を入れ替えることが出来る素晴らしい定理だ。
もちろん工学部などで理論より計算方法が大事！と何の確認もなく交換することもあると思うが、当然交換できない例は存在する。
よって本来はしっかりと確認する必要があることに注意する。