数学をことばにしよう：ガウス記号

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

α=6+√27, β=6-√27とおくと、α+β=12, αβ=9
a_n=α^n+β^nとすると、a_1=12=3・4, a_2=3^2・14
a_nは3で割り切れると仮定する
三項間漸化式の特性方程式の性質から、a_n+2=12a_n+1-9a_n
よって、n=kのときa_k=(3^k)M, n=k+1のときa_k+1=(3^k+1)N
n=k+2のとき、a_k+2=12・(3^k+1)N-9(3^k)M=3^k+2(4N-M)
ゆえに、a_nは3で割り切れる
0<β<1ゆえに、β^nは0<β^n<1
ゆえに、余りは3^2020-1が解答

以前も似たような問題を取り扱いました。三項間漸化式の特性方程式の性質、三項間の数学的帰納法、ガウス記号、商と余りなど、いろいろな要素が詰まったいい問題でした。

勉強になりました！

（了）