数学をことばにしよう：三乗根と漸化式

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

α^3+β^3=18, αβ=1
(α+β)^3-3αβ(α+β)-18=0, α+β=tと置くと、t^3-3t-18=0, (t-3)(t^2+3t+6)=0
よって、α+βは実数なのでα+β=t=3
（解と係数の関係から、x^2-3x+1=0の解がαとβ, α=3+√5/2, β=3-√5/2）α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=7
a_n+2=(α^2n+3+β^2n+3)=(α^2+β^2)(α^2n+1+β^2n+1)-α^2β^2(α^2n-1+β^2n-1), つまりa_n+2=7a_n+1-a_n ①
a_1=3, a_2=18, a_kが整数、a_k+1が整数のとき、a_k+2は整数
a_n+4=7a_n+3-a_n+2, a_n+2=-a_n+4+7a_n+3 ②
①と②より、a_n+4-a_n=7(a_n+3-a_n+1)、したがって7の倍数が示される

解と係数の関係、三項間漸化式、数学的帰納法、整数問題が組み合わさった良問でした。

勉強になりました！

（了）