数学をことばにしよう：三項間漸化式

鈴木貫太郎さんの数学動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

特性方程式の性質より、x^2-5x+6=(x-2)(x-3), x=2,3であるから
a_n+2-αa_n+1+f,g(n+1)=β(a_n+1-α_n)+f,g(n)のα,βは(2,3)(3,2)
(2,3)のときの定数をf(n)=an^2+bn+c, (3,2)のときの定数をg(n)=pn^2+qn+r
代入すると、a_n+2-2a_n+1+f(n+1)=3(a_n+1-2a_n+f(n)), 3f(n)-f(n+1)=2n^2
同様に、a_n+2-3a_n+1+g(n+1)=2(a_n+1-3a_n+g(n)), 2g(n)-g(n+1)=2n^2
3an^2+3bn+3c-an^2-2an-a-bn-b-c=2n^2
2an^2+(-2a+2b)n-a-b+2c=2n^2, 係数比較より、a=1, b=1, c=1
つまり、f(n)=n^2+n+1
同様に、2pn^2+2qn+2r-pn^2-2pn-p-qn-q-r=2n^2
pn^2+(-2p+q)n-p-q+r=2n^2, 係数比較より、p=2, q=4, r=6
つまり、g(n)=2n^2+4n+6
ゆえに、a_n+1-2a_n+f(n)は、初項が48-36+3=15, 等比3
したがって、15・3^n-1=5・3^nの等比数列
同様に、a_n+1-3a_n+g(n)は、初項が48-54+12=6, 等比2
したがって、6・2^n-1=3・2^nの等比数列
a_n+f(n)-g(n)=5・3^2-3・2^n=5・3^2-3・2^n+n^2+3n+5が解答

三項間漸化式に定数が付いた形ですが、係数比較までの計算が細かいので、計算ミス注意ですね。あとは丁寧に2つの等比数列を導いて、連立させて、一般項を出す流れでした。

勉強になりました！

（了）