カードゲームにおける命題の証明

2024年3月27日 21:07

カードN枚中$${x}$$枚が当たりであるとする。
このカードを裏向きのまま二つの束AとBに分け、束Aからカードを何枚か表向きにし、当たりの数を数える。
このとき、束Aの残りから一枚を取り出したときに当たる確率と、束Bから一枚を取り出したときに当たる確率は、ともに

$$
\footnotesize
\cfrac{残りの当たりの枚数}{残りの裏向きのカードの枚数}
$$

となる。

この命題について、以下の文字を用いて示していく。
(注)なるべくその都度説明するので、これら文字の設定は丸暗記しなくても大丈夫です。

$$
\footnotesize
\begin{array}{lll}
N & カードの総数 & \\
x & 当たりの総数 & 0 \leqq x \leqq N \\
M & 分けられた束Aの枚数 & 1 \leqq M < N \\
a & 束Aに含まれる当たりの枚数 & t \leqq a \leqq x \\
S & 束Aから表向きにした枚数 & 1 \leqq S < M \\
t & S枚のうちの当たりの枚数 & 0 \leqq t \leqq a
\end{array}
$$

$${x=t}$$のとき、残りの当たりは0枚であり、命題は自明に成り立つので、ここでは$${x>t}$$とする。
また、

$$
\footnotesize
\begin{array}{ll}
X & 束AからS枚表向きにしたとき、当たりがt枚出る\\
Y_{a} & 二つの束に分けた際、Aに当たりがa枚含まれる\\
Z & 束Aの残りから1枚を取り出した時に当たりが出る\\
W & 束Bから1枚を取り出した時に当たりが出る
\end{array}
$$

とする。

(1) 束Aの残りについて

方針
ここでは、事象X(束AからS枚中t枚あたりが出る)が起こった時に事象Z(束Aの残りから1枚めくって当たりが出る)が起こる条件付き確率$${P(Z|X)}$$を求める。
ただし、事象Xについて、束Aに何枚の当たりが含まれるかによっての場合分けが必要となる。
式で表すと、$${X = \bigcup ^{x} _{a=t} Y_{a} \cap X}$$である。
このことに注意すると、求める確率は、

$$
\begin{array}{rcl}
P(Z|X) &=& \cfrac{P(Z \cap X)}{P(X)}\\
&&\\
&=&\displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{P(Z \cap Y_a \cap X)}{P(X)}\\
&&\\
&=& \displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{P(Y_a \cap X) \times P(Z|Y_a \cap X)}{P(X)}\\
&&\\
&=& \displaystyle \sum^x_{a=t} \left( \cfrac{P(Y_a \cap X)}{P(X)} \times P(Z|Y_a \cap X) \right) \\
&&\\
&=& \displaystyle \sum^x_{a=t} P(Y_a|X) \times P(Z|Y_a \cap X)
\end{array}
$$

となる。
この式について、以下の流れで求めていく。

① 束Aに当たりが$${a}$$枚含まれる確率$${P(Y_a)}$$を求める
② このときに束AからS枚めくってt枚の当たりが出る確率$${P(X|Y_a)}$$を求める
③ ①と②をかけ合わせることで、束Aに当たりが$${a}$$枚含まれており、束AからS枚めくってt枚の当たりが出る確率$${P(Y_a \cap X)}$$を求める
④ 各$${a}$$の場合の③を足し合わせることで、すべてのパターンでの、S枚めくってt枚の当たりが出る確率の総和である$${P(X)}$$を求める
⑤ ③/④を考えることで、事象X(S枚中t枚が当たり)が起きた時、束Aに含まれる当たりの枚数が$${a}$$枚であった条件付き確率$${P(Y_a|X)}$$を求める
⑥ 束Aの残りから一枚を取り出した時、当たりが出る確率(事象Zの確率)を求める　なお、「束Aに当たりが$${a}$$枚含まれており、束AからS枚めくってt枚の当たりが出た」時に、束Aの残りから当たりが出る確率なので、$${P(Z|Y_a \cap X)}$$を求めることになる
⑦ 各$${a}$$の場合の⑤×⑥を足し合わせることで、求めたい確率$${P(Z|X)}$$を求める

①

カードN枚の状態から束に分ける際に、束Aに当たりが$${a}$$枚含まれている確率$${P(Y_a)}$$を求める。

$$
P(Y_a)=\frac{ _x C_a \times _{N-x}C_{M-a}}{_NC_M}
$$

である。
分母は、N枚中M枚のカードを選ぶ組み合わせを考えている。
分子について、左の式は当たり$${x}$$枚から束Aに含まれる$${a}$$枚を選ぶ式である。
右の式は、はずれのカード$${N-x}$$枚から、束Aの残り$${M-a}$$枚を選ぶ式である。

②

次に、このとき、束AからS枚を取り出してt枚当たる確率を求める。
これは束の分け方が$${Y_a}$$であった時、事象$${X}$$が起こる条件付き確率$${P(X|Y_a)}$$と表すことができ、

$$
P(X|Y_a)=\frac{_aC_t \times _{M-a}C_{s-t}}{_MC_S}
$$

となる。
分母は、束AのM枚のカードからS枚を取り出す組み合わせ。
分子の左は、当たり$${a}$$枚からt枚を取り出す式。右は、はずれ$${M-a}$$枚から残りの$${S-t}$$枚を取り出す式である。

③

これらをかけあわせることで、束Aに当たりが$${a}$$枚含まれており、そこからS枚取ってt枚の当たりが出る確率$${P(Y_a \cap X)}$$を求める。
大変な式になるが、組み合わせの性質

$$
_nC_r=\cfrac{n!}{r!(n-r)!}
$$

を用いて気合いで変形する。

$$
\begin{array}{rl}
P(Y_a \cap X) =&\cfrac{ _x C_a \times _{N-x}C_{M-a}}{_NC_M} \times \cfrac{_aC_t \times _{M-a}C_{s-t}}{_MC_S} \\
&\\
=&\cfrac{_sC_t \times _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{_NC_x}
\end{array}
$$

④

これらを束Aの当たりの枚数$${a=t, t+1, ……, x}$$の場合まで、すべて足し合わせることで、束AからS枚めくってt枚の当たりが出る確率$${P(X)}$$を求める（公開情報から$${a}$$の最小値はtである）。
よって、

$$
P(X)= \sum ^x _{a=t} \cfrac{_sC_t \times _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{_NC_x}
$$

なお、$${\sum}$$は足し算を行う記号であり、この場合注文通りに、$${a=t}$$のときから、$${a=t+1}$$のとき、$${a=t+2}$$のとき、……、と$${x}$$のときまですべての場合を足していくという意味になる。

ここで、以前のnoteにも登場したヴァンデルモンドの畳み込みを用いてこの式を変形する。

任意の負ではない整数$${p, q, n }$$に対して、

$$
\sum_{k=0}^{n} {}_pC_k × {}_qC_{n-k} = {}_{p+q}C_n
$$

という式が成立する。ただし、$${p < k}$$のとき、$${{}_pC_k = 0}$$とする。

ここで、$${ _sC_t}$$と$${ _NC_x}$$は$${a}$$に関係のない値なので、

$$
\begin{array}{rl}
P(X)= & \displaystyle \sum ^x _{a=t} \cfrac{_sC_t \times _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _NC_x}\\
&\\
=& \displaystyle \cfrac{ _sC_t}{ _NC_x} \times \sum^x_{a=t} _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}
\end{array}
$$

ここで、ヴァンデルモンドの畳み込みの式において、
$${p=N-M, q=M-S, n=x-t,}$$
と見ると、
$${k=x-a}$$として、$${n-k=a-t}$$とでき、
また$${a=t}$$のとき$${k=x-t=n}$$、$${a=x}$$のとき$${k=0}$$であるので、$${\sum^x_{a=t}}$$は$${\sum^{n}_{k=0}}$$と書けることに注意すると、

$$
\begin{array}{rl}
&\displaystyle \sum^x_{a=t} _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}\\
&\\
=&\displaystyle \sum^n_{k=0} _{p}C_{k} \times _{q}C_{n-k}\\
&\\
=& _{p+q}C_{n}\\
&\\
=& _{\{(N-M)+(M-S)\}}C_{x-t}\\
&\\
=& _{N-S}C_{x-t}
\end{array}
$$

よって、

$$
P(X) = \cfrac{ _sC_t}{ _NC_x} \times _{N-S}C_{x-t}
$$

である。

⑤

③/④を考える。
③は束Aに当たりが$${a}$$枚であり、事象X(S枚中t枚当たり)が起こる確率
④はすべてのパターンでの事象Xの起こる確率
であるので、この計算により、事象Xが起きた時に、束Aに含まれていた当たりの数が$${a}$$枚である条件付き確率$${P(Y_a|X)}$$を求めることができる。
束AからS枚中t枚当たりが出たこと(公開情報)により、束Aに当たりが$${a}$$枚含まれる確率は変化しており、この式ではそれを求めている。

$$
\begin{array}{rl}
P(Y_a|X)=&\cfrac{\cfrac{_sC_t \times _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{_NC_x}}{\cfrac{ _sC_t}{ _NC_x} \times _{N-S}C_{x-t}}\\
&\\
=&\cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}}
\end{array}
$$

⑥

束Aの残りから一枚取り出して当たる確率を考える。
なお、正しくは「束Aに当たりが$${a}$$枚含まれており、S枚めくってt枚当たりが出た」時に、束Aの残りから当たりが出る確率である。

これは単純で、
残りのカード：元のM枚からS枚は既にめくっているので、$${M-S}$$枚
残りの当たり：元の$${a}$$枚からt枚めくっているので、$${a-t}$$枚
であるので、

$$
P(Z|Y_a \cap X)=\cfrac{a-t}{M-S}
$$

である。

⑦

⑤束Aに含まれる当たりが$${a}$$枚のとき、⑥残りの束から当たりを引く確率は、⑤×⑥で求めれられる。
よって、全ての場合においての⑤×⑥をたし合わせることで、残りの束から当たりを引く確率を求める。

よって、

$$
\displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{a-t}{M-S}
$$

ここで、$${a > t}$$ならば、

$$
\begin{array}{cl}
& _{M-S}C_{a-t} \times \cfrac{a-t}{M-S} \\
&\\
=& \cfrac{(M-S)!}{(a-t)! \{(M-S)-(a-t) \}!} \times \cfrac{a-t}{M-S}\\
&\\
=& \cfrac{(M-S-1)!}{(a-t-1)! \{(M-S-1)-(a-t-1) \}!}\\
&\\
=& _{M-S-1}C_{a-t-1}
\end{array}
$$

であり、$${a=t}$$のとき、

$$
\cfrac{ _{N-M}C_{x-t} \times _{M-S}C_{t-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{t-t}{M-S} = 0
$$

であるので、

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{a-t}{M-S}\\
&\\
=& \cfrac{ _{N-M}C_{x-t} \times _{M-S}C_{t-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{t-t}{M-S} + \displaystyle \sum^x_{a=t+1} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{a-t}{M-S}\\
&\\
=&\displaystyle \sum^x_{a=t+1} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{a-t}{M-S}\\
&\\
=&\cfrac{1}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \sum^x_{a=t+1} _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S-1}C_{a-t-1}
\end{array}
$$

ここで再度ヴァンデルモンドの畳み込みを用いる。
今回は、

$$
p=N-M, q=M-S-1, n=x-t-1
$$

とする。
このとき、$${k=x-a}$$とすると、$${n-k=a-t-1}$$であり、
$${a=t+1}$$のとき、$${k=x-t-1}$$、
$${a=x}$$のとき、$${k=0}$$であるので、

$$
\begin{array}{rl}
&\displaystyle \sum^x_{a=t+1} _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S-1}C_{a-t-1}\\
&\\
=&\displaystyle \sum^{x-t-1}_{k=0} _pC_k \times _qC_{n-k}\\
&\\
=& _{p+q}C_{n}\\
&\\
=& _{\{(N-M)+(M-S-1)\}}C_{x-t-1}\\
&\\
=& _{N-S-1}C_{x-t-1}
\end{array}
$$

となる。よって、求める確率は、

$$
\begin{array}{rl}
&\cfrac{1}{ _{N-S}C_{x-t}} \times _{N-S-1}C_{x-t-1} \\
&\\
=& \cfrac{(x-t)! \{(N-S)-(x-t)\}!}{(N-S)!} \times \cfrac{(N-S-1)!}{(x-t-1)! \{(N-S-1)-(x-t-1)\}!}\\
&\\
=&\cfrac{x-t}{N-S}
\end{array}
$$

いま、$${x-t}$$は残りの当たりの枚数であり、$${N-S}$$は残りの裏向きのカードの枚数であるので、求める確率が

$$
\footnotesize
\cfrac{残りの当たりの枚数}{残りの裏向きのカードの枚数}
$$

となることが示された。

(2) 束Bについて

束Bから一枚取り出したときに当たりを引く事象をWとするとき、求めたい確率は、事象X(束AからS枚中t枚当たり)が起きた時、事象Wの起こる条件付き確率$${P(W|X)}$$である。これについて、(1)のときと同様に、

$$
\begin{array}{rcl}
P(W|X) &=& \cfrac{P(W \cap X)}{P(X)}\\
&&\\
&=&\displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{P(W \cap Y_a \cap X)}{P(X)}\\
&&\\
&=& \displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{P(Y_a \cap X) \times P(W|Y_a \cap X)}{P(X)}\\
&&\\
&=& \displaystyle \sum^x_{a=t} \left( \cfrac{P(Y_a \cap X)}{P(X)} \times P(W|Y_a \cap X) \right) \\
&&\\
&=& \displaystyle \sum^x_{a=t} P(Y_a|X) \times P(W|Y_a \cap X)
\end{array}
$$

となる。
求め方についても、

①〜⑤ (1)と同様にして、事象X(S枚中t枚が当たり)が起きた時、束Aに含まれる当たりの枚数が$${a}$$枚であった条件付き確率$${P(Y_a|X)}$$を求める
⑥’ 束Bから一枚を取り出した時、当たりが出る確率(事象Wの確率)を求める
⑦’ 各$${a}$$の場合の⑤×⑥を足し合わせることで、求めたい確率$${P(W|X)}$$を求める

と、(1)の内容を使い回すことができる。ゴールまであと少し！

①〜⑤

(1)の①〜⑤と同様にして、

と求めることができる。
繰り返すが、すべてのパターンの$${a}$$について、事象X(束AからS枚中t枚表)の起こる(条件付き)確率を求め、たし合わせることで$${P(X)}$$を求める。その後、各$${a}$$での確率を、総和である$${P(X)}$$で割ることで、発生した事象Xによって束Aの当たりの枚数の確率がどう変わるかを求めている。

⑥’

束Bから一枚を取り出した時、当たりが出る確率を考える。
元々カードがN枚あり、束AをM枚としているので、束Bは$${N-M}$$枚である。
また、当たりの数も、元々$${x}$$枚であり、束Aの当たりを$${a}$$枚としているので、束Bの当たりは$${x-a}$$枚である。よって、

$$
P(W|Y_a \cap X) = \cfrac{x-a}{N-M}
$$

である。

⑦’

⑤束Aに含まれる当たりが$${a}$$枚のとき、⑥’束Bから当たりを引く確率は、⑤×⑥で求めれられる。
よって、全ての場合においての⑤×⑥をたし合わせることで、残りの束から当たりを引く確率を求める。

$$
\begin{array}{cl}
&\displaystyle \sum^x_{a=t} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{x-a}{N-M}\\
&\\
=& \cfrac{ _{N-M}C_{x-x} \times _{M-S}C_{x-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{x-x}{N-M} + \displaystyle \sum^{x-1}_{a=t} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{x-a}{N-M}\\
&\\
=&\displaystyle \sum^{x-1}_{a=t} \cfrac{ _{N-M}C_{x-a} \times _{M-S}C_{a-t}}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \cfrac{x-a}{N-M}\\
&\\
=&\cfrac{1}{ _{N-S}C_{x-t}} \times \sum^{x-1}_{a=t} _{N-M-1}C_{x-a-1} \times _{M-S}C_{a-t}
\end{array}
$$

ここで、

$$
p=N-M-1, q=M-S, n=x-t-1,k=x-a-1
$$

とすると、ヴァンデルモンドの畳み込みより、

$$
\begin{array}{rl}
&\displaystyle \sum^{x-1}_{a=t} _{N-M-1}C_{x-a-1} \times _{M-S}C_{a-t}\\
&\\
=&\displaystyle \sum^{x-t-1}_{k=0} _pC_k \times _qC_{n-k}\\
&\\
=& _{p+q}C_{n}\\
&\\
=& _{\{(N-M-1)+(M-S)\}}C_{x-t-1}\\
&\\
=& _{N-S-1}C_{x-t-1}
\end{array}
$$

よって、求める確率は、

となる。

⑦と⑦’により、命題は示された。

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