『高校数学のロードマップ』B_1（参考編_集合編）1（集合）2（圏論の一部）

（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

（2022/5/26追記）
このB_1の記事はことさら使用に堪えません。何もかもデタラメの恥ずべき記事です。今では集合論と論理学と圏論の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので（そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので）今更しょうがないんですよね…困ったな。

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★集合論の前後の拡張としての圏論

・次に、圏論の説明をします。
・圏論で考えるべきところは、大きく分けて2つあり、集合以前と、それ以後です。
・集合以前のキーワードは、4つだけあります。
　点のようにイメージ出来る対象（たいしょう）。
点と点の間の矢印のようにイメージ出来る射（しゃ）。
同じ点から出てそのまますぐに自分自身に帰ってくるUターン矢印である恒等射（こうとうしゃ）。
恒等射しか持たない対象だけを含むことが出来るし、自分自身も恒等射を備える、箱である離散圏（りさんけん）。
この4つです。
・圏論の観点からは、実は、集合の正体は離散圏ですし、元の正体は恒等射しか持たない対象です。
　また、対象と射こそが、さっき言っていた、主語や述語、元や写像、変数や大学数学レベルの関数、そして実は順序的構造、位相的構造の、究極の根源です。
（今書いたどれもこれも点と矢印で書けそうです。それくらい、点と矢印というイメージは強力なものなのです。）
・ここまでが、集合以前の圏論のキーワードです。これだけしかありませんし、どれも名前は偉そうですが、外見はまあ直感的に分かります。
 
・逆に言えば、ここから先の圏論のキーワードは、基本的に全て集合以後のキーワードです。
・最重要のキーワードとなる圏（けん）の話をします。
・圏（けん）とは、同じ離散圏＝集合の中にある、異なる元と元の間に射があるものです。また、この場合、恒等射を認めていますが、射が複数の元の間をループすることは認めていません。（これは例えば順序関係を考える時に便利な条件です。）
要するに、ただの離散圏＝集合よりちょっと高度なものだと思って下さい。
「同じ集合の異なる元と元の間に矢印を引いていいの！？」となっちゃうかもしれません。高校数学ではこれを許容していないはずです。
それに、これをした集合は、もはや集合と呼ばず、圏と呼ぶことになり、ジャンルが集合論から圏論に変わってしまいます。
だから高校数学でやるような集合論では、集合論の範囲を逸脱するので、この話をしないんですね。
・大雑把に言うと、ジャンケンの手の構造は、圏ではありません。グーチョキパーでループしてしまうからです。
　また、後で説明する順序集合は圏の例となります。

・また、このとき、射は結合性（けつごうせい）と呼ばれる性質を持たされてます。
結合性とは、ある射fの終わりと別の射gの始まりが同じ対象であれば、その射はつなげることが出来る、という性質です。
・射と写像は紛らわしいですが、射の方が原始的です。（詳しくは後で説明します。）

 
・「そんな圏なんか一体何の役に立つんだ？」と言いたくなるかもしれませんが、実は非常に多くの応用があります。
　圏のもう1つの例が、何と論理学の記号だったりします。
　演算能力や代数的構造と言いたくないような、「原始的な」演算能力や代数的構造が、これから先出て来ます。論理学の記号は、演算能力や代数的構造を持ちませんが、「原始的な」演算能力や代数的構造を持ちます。
論理学の記号の説明をする時に、演算能力や代数的構造を使った説明をしたら、「後で作られる、今ないものを、ないはずなのに勝手に今使う」という、許容されていたらおかしいレベルの重大なズルになります。ですので、これに引っかからないようにするには、「原始的な」演算能力や代数的構造の話はきちんと説明できなければいけません。
　そういう「原始的な」演算能力や代数的構造は、射や圏を使うことによって初めて説明出来るので、射や圏の話は避けられません。ただの集合では説明に向かないのですね。
　ということで、実際の説明はこの後行います。