『高校数学のロードマップ』B_1(参考編_集合編)3(自然数)
(※注:「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です)
(2022/5/26追記)
このB_1の記事はことさら使用に堪えません。何もかもデタラメの恥ずべき記事です。今では集合論と論理学と圏論の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので(そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので)今更しょうがないんですよね…困ったな。
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〇自然数
●自然数
★順序的構造と代数的構造を持つ無限集合としての自然数
・さっき言ったZFC公理系のうち、まだ書いていなかった、残された最後の公理「無限公理」を追加すると、無限の個数を持つ集合、無限集合(むげんしゅうごう)が作れます。
自然数は無限集合の一種です。一番小さな自然数は(大学数学では0、高校数学では)1ですが、一番大きな自然数はありません。要するに、無限に大きくなるのです。
・ZFC公理系8種類を使うと、写像や順序数や代数的構造が作れます。ここまでは間違いありません。
これに、無限集合を作れる無限公理を入れたら、パッと考えて、順序的構造と代数的構造を持つ無限集合が出来るんじゃないか? 実際、そうなります。
そして、自然数は正にそれらの性質を兼ねそろえているものです。
・ということで、ようやく自然数までたどり着きました。書いた□□(犬神工房)が自分で言うのもひどい話なんですが、長かった。
一番最初が一番の難所だった、というのも、困った話です。しかし、集合というキーワードと、自然数というキーワードの間には、どうしてもかなり広い溝があるので、きちんと埋めようとしていたら、こうなってしまいました。
・なお、追加したロードマップを、いったんここで書いておきます。
!I.集合編(超詳細版):
!!1:(対象→射→恒等射→)離散圏=集合
!!2:集合(→圏→モノイド→記号)
!!3:(記号→等号付き一階述語論理の記号→ZFC公理系(の一部))
!!4:(ZFC公理系(の一部)→非順序対→順序対→直積→対応のグラフ→対応→像→写像)
!!5:(写像→順序数(としての0と1)→(大学数学レベルの)関数(としての後者関数)→)演算
!!6:演算→自然数
ここまでしないと集合から自然数が作れないのです。
(何て面倒なんでしょうね。
ここまで乗り切った〇〇さん(読者)は本当に偉いと思います。)
・まずは、ここまで読んで下さって、本当にありがとうございました。
お疲れ様でした。
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