『高校数学のロードマップ』B_4（参考編_関数編）1（ユークリッド幾何学）1（ノルムと距離）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

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〇ユークリッド幾何学

●ベクトル空間と距離を対応付ける

★ノルム

・数学における空間的な大きさのことをノルム(norm)と言います。（大学で出て来るキーワードです。）
　ベクトルに対応させたい、実数で表せる量があり、スカラー(scalar)と言います。「ベクトルを入力したらスカラーが出て来る」という風にすれば、「矢印の大きさはこれだけの量になる」ということになります。
　ベクトル空間におけるノルムの、より正確な定義とは、ベクトル空間の中で、ベクトルを入力してスカラーを出力する関数であり、以下の4つの条件を満たしているものです。
（なお、以下の条件では、ノルムによって出される数もノルムと呼んでいます。スカラーと呼んでもいいのですが、3.の条件のため、ノルムはスカラーの絶対値だと考えた方が都合よく扱えます。そこだけは気を付けて下さい。）
1. ベクトルが点でないとき、ノルムは0を超えている
2. ベクトルが点であるとき（直感的に言えば止まっているとき）、ノルムは0
3. ベクトルに数の掛け算をしたとき、掛け算の後のノルムは掛け算の前のノルムに数の絶対値（ぜったいち）を掛けたものになる
（ノルムは大きさなのでマイナスになってはならないからです。
中学数学でやった絶対値とは、プラスの数を入力した場合はそのまま出力されるプラスの数のことであり、マイナスの数を入力した場合はマイナスをひっくり返して出力されるプラスの数でもあり、要するに絶対値とはプラスの数のことなのでした。）
4. 2つのベクトルを足し算した新たなベクトルのノルムは、足す前の2つのベクトルのノルム以下になる
（三角形を思い出して下さい。2辺の長さの総和と残り1辺の長さを比較したら、残り1辺の長さは、常に2辺の長さの総和より短くなるのでした。
線形代数学では、「この残り1辺をベクトルとして見れば、2辺のベクトルの足し算に等しいが、残り1辺のノルムは2辺のベクトルの足し算以下になる」と考えます。）

★ユークリッドノルム

・ノルムにはいろいろな種類がありますが、よく使われるのがユークリッドノルムです。
　ちなみにv=(x,y)をベクトル、pを累乗根としたとき、ノルムは||v||pと書きます。絶対値|n|に似ていますが、整数以上の数ではなくベクトルを扱うので、棒の書き方で区別出来るようになっています。1本の棒同士で挟んであれば数の絶対値、2本の棒同士で挟んであればベクトルのノルムです。
具体的には、ユークリッドノルムは、p=2として、平方根を使います。
||v||2=√(|x|^2+|y|^2)
です。直角三角形で、斜めの線分の長さを測る時に、横線分の長さの2乗と縦線分の長さの2乗を足して、それを平方根で割る、という演算があったと思います。あれのことです。

★距離

・ところで、ノルムそのものは、ベクトルを入力して実数としてのスカラーの絶対値を出力する写像ですが、これを少し改造することが出来ます。
・距離（きょり）とは、2つの元を入力して実数を出力する写像です。これも4つの条件があります。
条件のかなりの部分がノルムの定義と似ているので、2つの元の間にベクトルを作れば、ノルムの条件の大半が距離の条件に流用出来ます。やってみましょう。
1. 元x,yが異なるものであるとき、距離は0を超えている
2. 元x,yが同じものであるとき、距離は0
3. 元x,yの距離と、元y,xの距離は、等しい
（ベクトルを逆向きにしても距離としては変わりがない、という意味です。ここは絶対値と共通するところがあります。）
4. 2つの距離を足し算した新たな距離は、足す前の2つの距離以下になる
・この時点で、ノルムの掛け算と絶対値の条件から比べると、距離の条件では掛け算の条件はなく、絶対値の条件しかないことが分かりますが、それでもかなり似ていることが分かるでしょう。

★ユークリッド距離

・抽象的な距離はともかく、ベクトルで使えるような距離のためには、掛け算の条件を復活させなければなりません。つまり、以下の通りです。
1. 元x,yが異なるものであるとき、距離は0を超えている
2. 元x,yが同じものであるとき、距離は0
3. 元x,yの距離と、元y,xの距離は、等しい
4. 元x,yの距離に数の掛け算をしたとき、掛け算の後の距離は掛け算の前の距離に数の絶対値を掛けたものになる
5. 2つの距離を足し算した新たな距離は、足す前の2つの距離以下になる
これらを満たす距離を、ユークリッド距離と呼びます。
・ユークリッド距離はユークリッドノルムから作ることが出来ます。4.の性質はユークリッドノルムから引き継いだものです。
・普通のユークリッド幾何学で使う距離は、正にこのユークリッド距離です。