ワイスの球定理の証明

流体力学をやっていると出てくる定理。

無限に広い領域で速度ポテンシャル$${\Phi_0 (x,y,z)}$$によって、与えられる渦なしの流れを考える。湧き出しや特異点があっても良いと仮定して、原点から$${a}$$以上離れている半径$${a}$$の球の流れを表すポテンシャル$${\Phi(x,y,z)}$$は以下の数式で表せるというもの。

$${\Phi = \Phi_0 + \Phi_1}$$
$${\Phi_1 (x,y,z) =\displaystyle\frac{a}{r} \Phi_0 \left(\frac{a^2 x}{r^2},\frac{a^2 y}{r^2},\frac{a^2 z}{r^2}\right) - \frac{2}{ar} \int_0^a \mathrm{d}\lambda \lambda \Phi_0 \left(\frac{\lambda^2 x}{r^2},\frac{\lambda^2 y}{r^2},\frac{\lambda^2 z}{r^2}\right)}$$

これの証明がネットに転がっていなくて、私が学生時代論文を漁ってようやく見つけたので、誰かの役に立ってくれたらと思って残しておきます。

【以下証明】
証明するには以下のことを証明すればいい、ということだったが、忘れてしまった（後日、教科書見て確認してみます）。朧げではあるが、以下のような感じだったはず。
(i)$${\Phi}$$が調和関数であることを示す$${\Delta \Phi =0}$$
(ii)積分範囲$${[0,a]}$$で$${\Phi}$$が正則であることを示す。
(iii)原点近傍で$${\Phi_1}$$がゼロ
(iv)$${\Phi}$$の表面上での方向微分がゼロ$${\displaystyle \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} n} =0}$$

(i)簡単ではあるが、$${\Phi_0}$$の鏡像が、$${\Phi_1}$$であることを示す。これをケルビンの鏡像定理(Kelvinの鏡像定理)と言うらしい。
以下のように、半径$${\lambda}$$の球を考え、外部の点を$${P(x,y,z)}$$、内部の点を$${Q(x',y',z')}$$とする。$${ \bar{OP} \cdot \bar{OQ} = \lambda^2 }$$
の関係にある時、二点は鏡像の関係にあるという。

$${\bar{OP}=r,\bar{OQ}=R}$$とすると、
$${\displaystyle R=\frac{\lambda^2}{r}}$$
$${\displaystyle \boldsymbol{R} = \frac{\lambda^2}{r^2} \boldsymbol{r} }$$(ベクトル表記)
したがって$${r=\lambda}$$で、$${\Phi (P)}$$と$${\Phi (Q)}$$が一致するため、二つの関係は以下のようになる。
$${\displaystyle \Phi(P) \equiv \frac{\lambda}{r} \Phi(Q)}$$
つまり、物体内部で渦無しの流れがあるなら、それに鏡像の領域では渦無しの流れが得られる。ただ、これは厳密な関係ではない（なので、合同という形にしている）。以下、ラプラス方程式から本当に厳密に表せているのかを導く。

【$${\Delta \Phi =0}$$を示す】
球座標では、$${\displaystyle\Delta = \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right ) + \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right ) + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right )}$$であることは、面倒なので省略する。
$${\displaystyle R=\frac{\lambda^2}{r}}$$として、微分を$${ r \to R }$$にすると、第一項目は、
$${ \displaystyle \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right )=\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\frac{\partial}{\partial R}\left( r^2 \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\frac{\partial}{\partial R} \right ) \\= \left( -\frac{\lambda^2}{r^2} \right )\frac{\partial}{\partial R}\left( r^2\left( -\frac{\lambda^2}{r^2} \right ) \frac{\partial}{\partial R} \right ) \\= \frac{\lambda^4}{r^4}\frac{\partial^2}{\partial R^2} = R^2\frac{\partial^2}{\partial R^2}}$$
一方、
$${ \displaystyle\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right)\Phi = \left( 2r\frac{\partial}{\partial r}+r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}\right) \Phi \\= r^2\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right )\Phi\\ = r\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\Phi) }$$逆算してみると、一致する（もしかして当たり前の変形？）。
よって、ラプラス方程式は、
$${\displaystyle \left(R^2\frac{\partial^2}{\partial R^2}+\Lambda(\theta,\phi)\right) \Phi(r,\theta,\phi)=0}$$
$${\displaystyle \left(r^2\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\Lambda(\theta,\phi) \right) \left(r\Phi(r,\theta,\phi)\right)=0}$$
下の式は、$${\displaystyle r^2\Delta \equiv r\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\Lambda(\theta,\phi) =0 }$$として、先ほどの変形を適応させて、
$${\displaystyle r\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\Phi)+\Lambda(\theta,\phi)\Phi =0 }$$
これに、$${r}$$をかけて$${r\Phi}$$で括ると導かれる。
この式は$${r=R}$$にしても、$${R\Phi(R,\theta,\phi)}$$は、ラプラス方程式を満たす。これに任意の係数をかけてもラプラス方程式を満たすため、帳尻合わせしたみたいに感じるかもしれないが、$${\displaystyle \Phi^*(r,\theta,\phi) \equiv \frac{R}{\lambda} = \frac{\lambda}{r}\Phi\left(\frac{\lambda^2}{r},\theta,\phi\right) }$$とすると、これも解になるため、$${\displaystyle\frac{\lambda}{r}\Phi\left(\frac{\lambda^2}{r},\theta,\phi\right) }$$は、調和関数だと言える。これでようやく(i)が示せた。普通に疲れた。

(ii)これは結構簡単に終わる。というのも、$${\Phi_0}$$が$${[0,a]}$$で正則なのは明らか(球内部に湧き出し、特異点は存在しないため）。$${\Phi_1}$$は$${\Phi_0}$$の鏡像にあたるため、$${[0,a]}$$で正則になる。したがって、それらの和である$${\Phi}$$も正則になる。

(iii)原点近傍で$${\Phi_0=A_0+(A_1 x+B_1 y+C_1 z)+O(r^2)}$$として、ワイスの球定理に適用すると、
$${\displaystyle \Phi_1 = \frac{a}{r} \left( A_0+\left(A_1 \frac{a^2}{r^2}x + B_1\frac{a^2}{r^2} y+C_1 \frac{a^2}{r^2} z \right)+O(r^2)\right) - \frac{2}{ar} \int_0^a \mathrm{d} \lambda \lambda \left[A_0+\left(A_1 \frac{a^2}{r^2} x+B_1 \frac{a^2}{r^2} y+C_1 \frac{a^2}{r^2} z \right)+O(r^2)\right]}$$
$${r\to\infty}$$にすると、$${\Phi_1\to0}$$になる。

(iv)あともう一息。実は上の部分は他の教科書を見れば載っている。しかし、この四番目が載っていなく、論文を漁ってようやく見つけられた。
$${\displaystyle \left(\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} n}\right)_{r=a} =\left(\frac{\mathrm{d} \Phi_0}{\mathrm{d} n}+\frac{\mathrm{d} \Phi_1}{\mathrm{d} n}\right)_{r=a}=0}$$
なので、$${ \displaystyle\left(\frac{\mathrm{d} \Phi_1}{\mathrm{d} n}\right)_{r=a}=-\left(\frac{\mathrm{d} \Phi_0}{\mathrm{d} n}\right)_{r=a}}$$を示すことにする。
表面上での方向微分なので、
$${ \displaystyle \left( \frac{\mathrm{d} \Phi_1}{\mathrm{d} n} \right)_ {r=a} = \left[ - \frac{a}{r^2} \Phi_0 \left( \frac{a^2}{r^2} \boldsymbol{r} \right)+ \frac{a}{r} \left( - \frac{2a^2}{r^3} + \frac{a^2}{r^3} \right)\left( \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \right) \right]_{r=a} - \frac{2}{a} \int_0^a \mathrm{d} \lambda \left[ -\frac{\lambda}{r^3} \Phi_0\left( \frac{\lambda^2}{r^2}\boldsymbol{r} \right) + \frac{\lambda}{r} \left(- \frac{2 \lambda^2}{r^3} + \frac{\lambda^2}{r^3} \right)\left( \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \right) \right]_{r=a} \\= -\frac{1}{a} \Phi_0 (x,y,z) - \frac{1}{a} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 (x,y,z) + \frac{2}{a} \int_0^a \mathrm{d} \lambda \left[ \frac{\lambda}{a^2} \Phi_0\left( \frac{\lambda^2}{r^2}\boldsymbol{r} \right) + \frac{\lambda^3}{a^4} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} \right) \right]_{r=a} }$$

この積分の中身だけを考えると、
$${\displaystyle \frac{2}{a} \left[ \frac{\lambda}{a^2} \Phi_0\left( \frac{\lambda^2}{r^2}\boldsymbol{r} \right) + \frac{\lambda^3}{a^4} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} \right) \right] \\= \frac{1}{a} \left[ \frac{2\lambda^2}{a^2} \Phi_0 \left( \frac{\lambda^2}{a^2}\boldsymbol{r}\right) + \frac{2 \lambda^3}{a^4} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} \right)\right] \\= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( \frac{\lambda^2}{a^2} \Phi_0\left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \right) \boldsymbol{r} \right) +\frac{ \lambda^2}{a^2} \frac{2 \lambda}{a^2} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} \right) }$$
二項目に注目して、更に変形。ここで、$${\boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}}=\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{R}} , \boldsymbol{R} = \frac{\lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} }$$に注目すると、
$${\displaystyle \frac{ \lambda^2}{a^2} \frac{2 \lambda}{a^2} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{∇_{\boldsymbol{R}}} \Phi_0 \left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} \right) = \frac{ \lambda^2}{a^2} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{R} }{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{R}}\Phi_0 (\boldsymbol{R}) \\= \frac{ \lambda^2}{a^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Phi_0 (\boldsymbol{R}) }$$
よって、まとめると、
$${\displaystyle  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( \frac{\lambda^2}{a^2} \Phi_0\left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \right) \boldsymbol{r} \right) + \frac{ \lambda^2}{a^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Phi_0 (\boldsymbol{R}) \\=  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} \left( \frac{\lambda^2}{a^2}  \Phi_0 \left( \frac{ \lambda^2}{a^2} \boldsymbol{r} \right) \right) = \frac{1}{a} \Phi_0 (\boldsymbol{r}) }$$
よって積分記号が外れて、なおかつ$${\lambda=a}$$になるため、非常に簡単な式になる。したがって、
$${ \displaystyle \left( \frac{\mathrm{d} \Phi_1}{\mathrm{d} n} \right)_ {r=a} =- \frac{1}{a} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{∇} \Phi_0 (x,y,z) = -\left(\frac{\mathrm{d} \Phi_0}{\mathrm{d} n}\right)_{r=a} }$$
というわけで(iv)が証明できた。

ちなみにだがWeissがどうやって導いたかはわからない。恐らく、先に解を予想してすべての条件を満たすから解だと判断したのだろうか。

ちなみに論文はこれ。

On hydrodynamical images. Arbitrary irrotational flow disturbed by a sphere | Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | Cambridge Core

結局、何をしたかったのかわからなくなったが、とりあえずワイスの球定理を証明した。

ちなみに初めてnoteでTex機能を使って書いたが、この記事だけで6時間くらいかかったかもしれない。
もう二度とやりません。これから発信するときはpdfにして、自分のブログにでも貼り付けます。

ここまでの苦労を掛けたんだから有料にしたい……。まあやめておきますが。