計量テンソル，metric tensor

地球儀上の２つの離れた点の距離はどうやってわかるだろうか？

私たちは地球の表面に立っている．
地球の表面の位置を表すのに，緯度(latitude)と経度(longitude)を使う．
このたった２つのパラメタで私たちの地球上の位置は示される．

緯度と経度をそれぞれ，$${ \bold{q} = {q^1, q^2} }$$という２つの変数の組で表してみよう．
一方で，地球の形状は球面であって，3次元空間の中に存在している．
地球の形状を$${ \bold{x}(\bold{q}) =(x(\bold{q}), y(\bold{q}), z(\bold{q})) }$$ のように表そう．

変位ベクトル（displacement vector）

地球の表面をほんのちょっと歩いてみる．
その微小変位$${ d\bold{x} }$$ は以下のように計算できる．
$${d\bold{x} = \bold{x}_1 dq^1 + \bold{x}_2 dq^2}$$
where, $${ \bold{x}_i = \partial_i \bold{x} = \frac{\partial}{\partial q^i} \bold{x}, i = 1,2 }$$

計量テンソル（Metric tensor）

その微小変位から距離を求めるにはベクトル$${d\bold{x}}$$の内積を計算する．
$${ ||d\bold{x}||^2 = d\bold{x} \cdot d\bold{x} = (\bold{x}_1 dq^1 + \bold{x}_2 dq^2) \cdot (\bold{x}_1 dq^1 + \bold{x}_2 dq^2)}$$,

この計算は以下のように表すことができる．

$${||d\bold{x}||^2 = \bold{x}_i \cdot \bold{x}_j dq^i dq^j , i,j = 1,2}$$

ここで，$${ g_{ij} = \bold{x}_i \cdot \bold{x}_j}$$は計量テンソル，Metric tensor と呼ばれる．

また以下の，Einstein's conventionを用いていることにも注意．

Einsteinの縮約表現(Einstein's convention)：
繰り返しの添字に関して，和を取る．
繰り返し出てくる添字は，dummy index と呼ばれる．
繰り返しではない添字は，free index と呼ばれる．（なぜ free なのか…）

演習：台風の動いた時の距離は？

フィリピン海沖で発生した台風が，八丈島を通って，釧路で温帯低気圧になった状況を考えよう．この時の台風の中心位置の緯度と経度について，時間の関数として，$${ \bold{q}(t) }$$ と表そう．例えば，$${q^1 = a^1t + b^1, q^2 = a^2t + b^2, a^i, b^i = const}$$と置いてみてもいいし，実際はもっと複雑な動きをしているかもしれない．$${t = 0}$$で発生して，$${t = T}$$で消滅したとしよう．
この場合、台風中心の移動距離$${L}$$はどのように計算されるか？

以下のように計算すれば良い：
$${ L = \int dx = \int \sqrt{ ||dx||^2 } = \int_{t=0}^{t=T} dt \sqrt{g_{ij} \dot{q}^1 \dot{q}^2} }$$