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最大公約数と最小公倍数を求める
2つの自然数a、bに共通する約数を公約数といい、今日する倍数を公倍数といいます。
そのなかで最も大きい公約数を最大公約数、もっとも小さい倍数を最小公倍数といいます。
最大公約数の約数が2つの自然数の公約数、最小公倍数の倍数が2つの自然数の公倍数になるので、この2つは重要です。
60と126の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。
算数では、逆割算を使って求めていきましたが、ここでは素因数分解が役に立ちます。
(もちろん逆割算でやってもいいですよ)
60=2^2×3×5
126=2×3^2×7
ここから、どうやって求めるのか。
最大公約数は両方に共通している約数の最大値ですから、共通している素因数をすべてかければいいわけです。
逆に最小公倍数はすべてかければ両方の倍数になりますが、最小ではないですよね。
なので、少なくとも一方に入っている分だけかければいいのです。
イメージは
最大公約数が「かつ」
最小公倍数が「または」
です。
ですので、60と126の最大公約数は
2×3=6
最小公倍数は
2^2×3^2×5×7=1260
となります。
小手先のやり方だと
最大公約数は指数の小さい方をかける
最小公倍数は指数の大きい方をかける
でできますが、これは意味をちゃんと理解してから使ってくださいね。
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