最大公約数と最小公倍数を求める

2つの自然数a、bに共通する約数を公約数といい、今日する倍数を公倍数といいます。

そのなかで最も大きい公約数を最大公約数、もっとも小さい倍数を最小公倍数といいます。

最大公約数の約数が2つの自然数の公約数、最小公倍数の倍数が2つの自然数の公倍数になるので、この2つは重要です。

60と126の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。

算数では、逆割算を使って求めていきましたが、ここでは素因数分解が役に立ちます。
(もちろん逆割算でやってもいいですよ)

60=2^2×3×5
126=2×3^2×7

ここから、どうやって求めるのか。

最大公約数は両方に共通している約数の最大値ですから、共通している素因数をすべてかければいいわけです。

逆に最小公倍数はすべてかければ両方の倍数になりますが、最小ではないですよね。

なので、少なくとも一方に入っている分だけかければいいのです。

イメージは

最大公約数が「かつ」

最小公倍数が「または」

です。

ですので、60と126の最大公約数は

2×3=6

最小公倍数は

2^2×3^2×5×7=1260

となります。

小手先のやり方だと

最大公約数は指数の小さい方をかける
最小公倍数は指数の大きい方をかける

でできますが、これは意味をちゃんと理解してから使ってくださいね。