互いに素？

1以外に公約数を持たない2つの自然数を互いに素な自然数といいます。

簡単に言うと、分数にしたときそれ以上約分できない2つの自然数のことですね。

この互いに素な自然数の性質を利用すると、以下のような問題も解けます。

「2x+3y=15を満たす自然数の組(x,y)をすべて求めよ。」

強引に探していけば、見つかることは見つかりますが、本当にすべて求めてるのか、まだあるんじゃないかと不安になりますよね。

互いに素な自然数の性質

「aとbが互いに素な自然数のとき、
m,nが自然数でam=bnのとき、mはbの倍数であり、nはaの倍数である。」

これを利用すると、漏れがなく見つかります。

では、やってみましょう。

<解法>
3yを移行して、3でくくると
2x=3(5-y)

2と3は互いに素な自然数なので、
5-yは2の倍数。

よって、yが自然数だということを考慮して

5-y=2、4

したがって、y=3、1

y=3のとき、x=3
y=1のとき、x=6

したがって、求める組は

(x,y)=(3,3)、(6,1)