数学の小ネタ#1　11で割り切れる？

　今日は2022年2月2日で、2が5つも並びます。しかし、あと20日待てば2022年2月22日がやってきて、2が6つも並びます。さらに200年待てば･･･。ここで問題です。この年号と日付を数字にした”20220202”は、11で割りきれるでしょうか？。

　筆算でも電卓でも構いませんが、計算してみると割り切れません。では、”20220222”は11で割り切れるでしょうか？。こちらは、11できれいに割り切れます。2や3や9で割り切れるかどうかの判定法なら、知っている人は多いと思います。20220222は、2でも3でも11でも割り切れて、9では割り切れません。

　では、ある数が11で割り切れるかどうかの判定法を知っていますか？。受験生や数学好きでないとちょっと知らないと思います。

　11で割り切れるかどうかは、”奇数桁の数の和”と”偶数桁の数の和”の差が11の倍数になっていれば良いのです。例えば9493の奇数桁の和は7、偶数桁の和は18です。したがって、この差である18-7が11なので、11で割り切れます。実際に9493÷11＝863となり、割り切れていることがわかります。奇数と偶数の数字を入れ替えた4939や3949も11で割り切れます。お試しあれ。

　この証明は、整数の剰余を計算するmodという演算による合同式を使えば、簡単に証明できますので、興味がある人はチャレンジしてみて下さい。私が受験生の頃には無かったカテゴリーの問題で、ずいぶん大人になってから合同式の存在を知りました。大学入試問題の解説は、YouTubeの数学界隈で有名な鈴木貫太郎さんが動画にしていたと思いますので、是非参考にしてみて下さい。

大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し” (ブルーバックス)

　最初の問題に戻りますが、20220222の奇数桁の和は6で、偶数桁の和も6です。したがって差は6-6=0となり、11の倍数(0倍)になるので、11で割り切れます。ちなみに今日・2月2日は、”お麩ふの日”だそうです。02なので、”おふ”とこじつけたのでしょう。