桜蔭中学校　２０２０年　算数

こんにちは。

紅茶を飲もうと思って、淹れたのに忘れて冷めてしまいがちな八重です。そういう動物いましたよね…。

早速ですが、前回、前々回に引き続き、桜蔭中学校　２０２０年　算数を解いていきたいと思います。

問題

1個10g,20g,60gの球があります。

10gの球には1から100までの整数のうち、4の倍数すべてが1つずつ書いてあります。

20gの球には1から100までの整数のうち、3で割って1余る数すべてが1つずつ書いてあります。

60gの球には1から100までの4の倍数のうち、3で割って1余る数すべてが1つずつ書いてあります。

ただし、同じ重さの球にはすべて異なる数が書いてあります。

（１）60gの球に書いてある数字を分母、20gの球に書いてある数字を分子として分数をつくります。このときできる1未満の分数のうち、分母と分子を5で約分できる分数の合計を求めなさい。

（２）①これらの球から13個の球を選んで、その重さの合計がちょうど250gになるようにします。10gの球、20gの球、60gの球をそれぞれ何個ずつ選べばよいですか。考えられるすべての場合を答えなさい。ただし、選ばない重さの球があってもよいとします。解答らんは全部使うとは限りません。

②①で求めた選び方の中で、60gの球の個数が2番目に多い選び方について考えます。13個の球に書かれている数の合計を4で割ると2余りました。合計が最も大きくなるとき、その合計を求めなさい。

解答

②①で求めた選び方の中で、60gの球の個数が2番目に多い選び方について考えます。13個の球に書かれている数の合計を4で割ると2余りました。合計が最も大きくなるとき、その合計を求めなさい。

①の答えは、（60g、20g、10g）＝（2個、2個、9個）（1個、7個、5個）（0個、12個、1個）

なのでここで考えるのは、60gの球が1個の場合です。

また、

１０g：{４、８、１２、１６、・・・、９６、１００}　ここに並んでいる数字は、差が４です。

２０g：{４、７、１０、１３、・・・、９７、１００}　ここに並んでいる数字は、差が３です。

６０g：{４、１６、２８、・・・、８８、１００}　ここに並んでいる数字は、差が１２です。

合計の数を大きくしたいので、起こりうる最大値を考えてみます。

６０g：１００　　　２０g：１００、９７、９４、９１、８８、８５、８２　　　１０g：１００、９６、９２、８８、８４

合計すると、１１９７

これを４で割ると、１余る。２余るためには偶数になる必要があるので、奇数を偶数に入れ替えるもしくは奇数を偶数に入れ替える。奇数の球は全て20gなので、その中で考える。

８２と７９を入れ替えると、　1197ー82＋79＝1194 これは、４の倍数でないかつ、偶数なので正しいです。

従って、答えは１１９４

この問題では、最後に２の倍数と４の倍数を判別しなければなりませんでした。

両方とも偶数ですが、素早く判定する方法として「４の倍数は下２桁が４の倍数になる」というものがあります。

例えば、「１１１１１１１９６」という非常に大きな数が出てきたとしても、９６が４の倍数であるので、これが４の倍数であるとわかります。

ちなみに、３の倍数は各位の数の合計が３の倍数になっていれば、その数は３の倍数です。

例えば、「１２３４５６７８９」という数は、

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５より、合計の４５が３の倍数なので、３の倍数であるとわかります。

このように、いくつか倍数になる数の条件を知っておくと計算にかかる時間を短縮することにつながると思います。

それでは今日はこの辺で失礼します。お疲れ様でした。

最後までご覧くださり、ありがとうございました。