【翻訳】数学の世界/ジェームズ・フランクリン
哲学者の中には、数学は神秘的な異次元の世界に存在すると考える人がいる。
しかし、それは間違いである。周りを見渡せば、そのことに気がつくだろう。
数学とは何か？生物学が何であるかという問いの答えは分かっている。それは生物に関することだ。
窓から放り出された猫の動きは物理学の問題だが、その生理機能は生物学の主題である。海洋学は海について、社会学は長期的な人間の行動について、など。すべての科学とその主題を並べたときに、数学が扱うべき現実の側面は残っているだろうか？
これが数学の哲学における基本的な問いである。
人々は、例えば会計士の哲学には関心を持たないように、数学の哲学に関心を持たない。
その理由はおそらく、数学の確実性と客観性、つまり岩のように強固な真理を一度に確立することが、多くの一般的な哲学的立場に対する挑戦であるからだろう。
ポストモダニズムのような極端に懐疑的な考え方だけが問題なのではない。現実とそれに対する我々の知識を完全に「科学的」に説明することを望む経験主義や自然主義の考え方も同様なのである。
問題は、数学が真実であることよりも、その真実が絶対的に必要であり、人間の心がその必要性を確立し、なぜそうでなければならないのかを理解できるかどうかにある。
物理的な脳が、どのようにしてそのようなことができるのかを説明するのは非常に難しい。
数学的必然性を不都合に感じる有名な哲学者にピーター・シンガーがいる。
彼の倫理学に関するベストセラーの一つにて、倫理的真理を直観することに頼ることはできないと主張している。なぜならば、数学における直観の最も説得力のあるケースは正しくないからである。
彼は「数学の基本的な真理の自明性は…数学を同語反復のシステムと見なすことで説明できる」と言う。
シンガーは、論理主義と呼ばれるこのような数学の哲学が「普遍的ではないにしても、広く受け入れられている」と主張するが、これは間違っている。
この100年間、論理主義はまともな数学の哲学者には受け入れられていない。
しかし、シンガーのように、人間の直感の不思議な力を説明したいと思う人が、デフレ的な数学の哲学が真実であることを望む理由は明らかである。
「数学とは"何か"についての学問か？」という問いに対して、「Yes」と「No」という2つの答えがある。しかし、どちらも満足のいくものではない。
数学は単なる言語に過ぎないという「No」の答えは、(数学的)唯名論者と呼ばれる人たちの支持を得ている。
この考え方では、数学は他のものを語るための手段に過ぎず、（シンガーが主張するように）論理的な些細な物事の集まりであり、規則に従って記号を形式的に操作するものでもある。
どのように切り取ろうとも、それは本当の意味では何もないのだろう。
学校での数学との出会いがあまり良いものではなかった人（「マイナスにマイナスをかけるとプラスになる。その理由は議論するまでもない。など」）は、唯名論者の描像に共感するかもしれない。
また、現実に関する真剣なな命題を生業にしている物理学者や技術者にとっても魅力的な考え方だろう。
ドイツの哲学者カール・ヘンペルの言葉を借りれば、彼らはラプラス変換表やその他の数学的な道具を「理論的なジュース抽出器」と見なしている。つまり、肉厚な物理的命題から余分な意味を引き出すのに役立つが、それ自体には意味がない。
唯名論は地に足のついた魅力があるかもしれないが、よくよく考えてみると、それが正しいとは言えない。
記号の操作はテクニックとしては有効だが、数学はある意味で「外」の世界について客観的な発見をしているという感覚が強い。
例えば、素数の分布の機微がそうだ。数には素数もあればそうでないものもある。1ダースの卵は、6×2や3×4のカートンに並べることができるが、卵は11個や13個のロットでは販売されない。なぜなら、11個や13個の卵を卵箱にきれいに並べる方法が存在しないからだ。11と13は12と違って素数であり、素数は2つの小さい数を掛け合わせることができない。
考え方はとてもわかりやすい。しかし、だからといって、何も発見がないわけではない。
数字の中の素数の分布には、パターンと不規則性が複雑に絡み合っていることがわかっている。
小さなスケールでは、後者が最も顕著で、素数が全くない状態が長く続く－実際に.無限に長く続いていく。
一方で、「素数のペア」は無限に存在すると広く信じられている。つまり、41と43のように、2つしかない数でどちらも素数であるような組み合わせである。
大規模になると、無秩序という印象は薄れ、やはりパターンが現れ始める。
ある数字の周りにある素数の密度は、数を数えるほどに徐々に小さくなっていき、大きな数の周りにある素数の密度はその大きさに反比例する。
例えば、1兆 (1012) のまわりにある素数の密度は、100万 (106) の約半分だ。
素数の分布の複雑さに関するより正確な情報は、現在、数学で最も有名な未証明の予想である「リーマン仮説」に含まれている。
純粋数学は、その真理が研究や言語以前に存在する領域の地形を明らかにしているように思える。
これは、数字の桁の和が9で割り切れるなら9で割り切れるというような、学校で習う簡単な事実から抽象的な代数学の高みの領域に至るまでの純粋数学の結果の典型である。
純粋数学は、我々の研究や言語に先立って真理が存在する領域の地形を我々に見せているという結論から逃れることはできない。
そんな思いから、プラトン主義では、唯名論に対抗する数学の哲学を提案している。
プラトン主義にて、数学とは、数や集合などの非物理的なもの、つまり空間や時間を超えた神秘的な形の領域に存在する抽象的なもののことだとしている。
このようなことを言うと奇妙に聞こえるかもしれないが、純粋数学者たちは自分たちの主題について、確かにそのように話し、しばしばそのように考えている。
プラトン主義は、数学的な証明が明らかに成功していることともよく似ている。
数学的な証明は、ある特定の世界で自然法則がどうなっているかにかかわらず、ありとあらゆる世界で物事がどうあるべきかを示しているように見える。
2の平方根が無理数であることの証明は、観測的に確立された法則に頼るものではなく、それは、2の平方根が、私たちの変化しやすい空間と時間の世界を超えた存在であることを示唆している。
綺麗な方針と長い歴史にもかかわらず、プラトン主義も正しいとは言えない。プラトン自身の時代から、唯名論者は非常に説得力のある反論をしてきた。
一つ例を挙げよう。
もし"抽象概念(abstracta)"が私たちの宇宙空間や時間の外に漂っているのだとしたら、どうやってそれを見ることができるのか、あるいは他の知覚的な接触があるのか、想像するのは難しい。では、どのようにしてその存在を確認できるのだろうか？
現代のプラトン主義者の中には、化学実験の結果を説明するために原子の存在を推論するように、数を推論していると主張する人もいる。
しかし、私たちが数について知っているのはそのようなことではないようだ。
数を数えることを学んでいる5歳児は、抽象的なものについて高度な推論を行うことはない。
現実の数字的側面との接触は、何らかの形で知覚的かつ直接的なものであり、動物でさえ、ある程度までは数を数えることができる。
いずれにしても、プラトン主義の問題点は、知識というよりも、数学的実体に対する見方にあると思う。
確かに、天気を測ったり、計算したり、数学的にモデル化したりするとき、私たちはこの世界にある実在のものの数学的性質、例えばその量を扱っている。そのような性質は抽象的なものではなく、色のように、私たちがそれを見ることになる因果的な力を持っている。
視覚システムは、身長と身長の比率などの特性を簡単に検出できる(隣り合って立っている場合) 。
例えそれが存在していたとしても、他の世界の抽象概念(abstracta)が物語に入り込む余地はない。
唯名論者とプラトン主義者は、それぞれ相手の意見の致命的な欠陥を説得的に明らかにしながらも、自分の立場を確立できずに、お互いに戦ってきた。もう一度やり直そう。
数学を考え、公式を書く人間が現れる前の地球を想像してみて欲しい。
大小の恐竜、木々、火山、川の流れ、風がある...その世界には、数学的な性質のものはあっただろうか ?
つまり、その世界（抽象的な世界ではない）にある実在のものの特性の中に、数学的なものとして認識しなければならないものがあっただろうか？
そのような特性はたくさん存在していた。ひとつは左右対称性。多くの動物と同様に、恐竜もほぼ左右対称であった。
木と火山は、ランダムな要素を持つほぼ円形の対称性を持っていた。上から見ると、軸を中心に回転させても同じように見える。卵も同様だ。しかし、対称性というのは、厳密にも近似的にも、実際には物理的ではない性質である。
非物理的なものにも対称性がある。例えば、引数は、後半が前半と逆の順序で繰り返されていれば対称性があると言える。
対称性は議論の余地のない数学的性質であり、純粋数学の主要分野である群論はその種類を分類することに専念している。
対称性が物理的なものに実現されている場合、それは多くの場合、知覚的に非常に明らかである。
もしあなたの顔が非対称であれば、政治家になるのはやめたほうが良いだろう、テレビではすぐに悪い印象を与えてしまうのだから。
対称性は、他の数学的性質と同様に、プラトン主義者が考えた抽象概念(abstracta)とは異なり、因果関係の力を持つことができる。
対称性と同様に、様々な物理的なものに実現可能なもう一つの数学的特性は、比率である。
大きな恐竜の身長と小さな恐竜の身長は、ある一定の比率になっている。
体積の比率は違う。実際、体積の比率は高さの比率よりもはるかに大きいので、大きな恐竜は不恰好で、小さな恐竜は活発になる。
ある比率は、2つの高さ、2つの体積、2つの時間間隔の関係になり得るものである。
比率は、異なる種類の物理的実体の間のそれらの関係が共有するものであり、物理的な長さや体積などよりも、より数学的な特性となる。
比率とは、ある長さ（または体積、または時間など）が任意に選んだ単位とどのように関連しているかを判断する際に測定するもので、数の基本的な種類の1つである。
アイザック・ニュートンは独自の言葉で次のように述べている。
「数によって我々が理解するのは、多数の単一性ではなく、ある量と同じ種類の別の量との抽象化された比率であり、我々はそれを単一性と見なす」
応用数学の世界に足を踏み入れることは、数と論理という慣れ親しんだ世界を好む数理哲学者にとってはめったにないことであるが、注意深い観察者にとっては、それ自体は物理的ではないものの、物理的世界（そして、それ以外の世界もあるかもしれないが）で実現可能な、他の多くの量的・構造的特性が見えてくる。
すなわち、フロー、順序関係、連続性と離散性、交代、線形性、フィードバック、ネットワーク・トポロジーなどである。
数学的性質が実際の世界でどのように現れるかを重視する数理哲学の名称がある。それはアリストテレス的実在論と呼ばれている。
これは、彼の師であるプラトンとは反対の、「物の性質は実在し、抽象的な別の世界ではなく、物そのものの中にある」というアリストテレスの考え方に基づいている。
数学は「量の科学」であるとするこの考え方は、ニュートンの時代までは数学の代表的な哲学であったが、それ以降はほとんど議論されなくなった。
乳幼児や動物は、パターンを認識し、数や形、対称性を推定する能力を持っていることが明らかである。
アリストテレス的実在論は、世界における数学的特性の実在性を主張しているので、基本的な数学的事実がどのようにして知られるのかについて、他の単純な事実と同様に、知覚によって知ることができるというわかりやすい説明ができる。高さの比は目に見えるように（もちろん、ある程度の近似性はあるが）。
私たち人間の発達した知的能力は、この単純な認識に2つのものを加える。
1つ目は、数学的事実の間の必要な関係を理解するための「視覚化」である。
簡単な頭の体操をしてみよう。6個の十字架が3個ずつ2列に並び、1列が他の列の真上にあると想像してみて欲しい。同じように、6つの十字架を2つずつ3列に並べることもできる。
私は、2×3が実際に3×2に等しいことに気付いただけでなく、2×3が3×2に等しくなければならない理由も理解した。
プラトン主義者は、数学的必然性を把握する人間の心の能力に注目したのは正しかったのだが、その必然性がこの世でしばしば実現されていることに気づかなかったのである。
人間の頭脳が知覚の結果を拡張する2つ目の知的能力は「証明」である。
数学の証明は、「2×3＝3×2」のように、個々の洞察を連鎖させて、素数の密度が大きいほど尾を引くなど、一見しただけでは理解できない必然性を示すものだ。
アリストテレス的実在論は、自然主義と難しい関係にある。
自然主義とは、世界と人間の知識のすべてが、物理学、生物学、神経科学の観点から説明できることを示すことを研究課題としている。
もし数学的性質が物理的世界で実現され、知覚できるのであれば、数学は自然主義の観点から説明できるはずの色の知覚と同様に不可解なものとは思えない。
一方、アリストテレス派は、必然性を数学的に把握することが神秘的であるという点でプラトン派と一致している。
必要なものはすべての可能な世界で真であるが、知覚はどのようにして他の可能な世界を見ることができるのだろうか？
中世のアリストテレス系のカトリック哲学者であるスコラ学派の人々は、必要な真理を把握する心に感銘を受け、知性は非物質的であり不滅であると結論づけたのである。
もし、今日の自然主義者がそれに同意したくないのであれば、彼らには課題がある。
「語るな、示せ」：つまり、本物の数学的洞察力を模倣した人工知能システムを構築するのである。
現在のところ、有望なプランはないようだ。
数学の哲学における標準的な選択肢、つまり、数学を些細なことに還元する唯名論と、数学的真理が必要な骨格を形成している実世界から数学を切り離すプラトン主義は、数学が私たちの住む世界についてどのように教えてくれるのかという、最も単純な事実を説明することができなかった。
アリストテレス的実在論は新たな出発点である。それは、数学の哲学を、常に数学が成長するための肥沃な土壌である応用分野に結びつけるものであり、哲学と、数学とその教育の両方に対するメッセージである。
シャッフルされた記号に目を奪われることなく、抽象的な領域に消えてしまうことなく、現実世界の数学的な構造に目を向けていて欲しい。
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