【院試解答】東大院 情報理工 数学 2018年度 第3問【複素確率変数】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2018（平成30）年度の数学（一般教育科目）第3問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

$${z_n}$$の漸化式より

$$
\begin{aligned}z_n&=\pm i^nz_0\\&=\pm i^n\end{aligned}
$$

となる．すなわち

$$
z_n=i^n \text{または} -i^n
$$

である．

(i) $${n}$$が奇数，すなわち$${n=2k+1}$$のとき

$$
\begin{aligned}z_{2k+1}&=\pm i^{2k+1}\\&=\pm(i^2)^ki\\&=\pm(-1)^ki\\&=\pm i\end{aligned}
$$

より，

$$
\mathrm{Re}(z_{2k+1})=0
$$

となる．

(ii) $${n}$$が偶数，すなわち$${n=2k}$$のとき

$$
\begin{aligned}z_{2k}&=\pm i^{2k}\\&=\pm(i^2)^k\\&=\pm(-1)^k\\&=\pm 1\end{aligned}
$$

より，

$$
\mathrm{Im}(z_{2k})=0
$$

となる．

(i),(ii)より，$${n}$$が奇数のとき$${\mathrm{Re}(z_n)=0}$$，偶数のとき$${\mathrm{Im}(z_n)=0}$$である．∎

解説

$${z_n}$$は複素平面上の単位円上を$${\pm 90}$$度ずつ移動していることが分かればよいでしょう．
$${n=2k,2k+1}$$とすると，この問題は$${k}$$に関する数学的帰納法でも示すことができます．