【院試解答】東大院 情報理工 数学 2017年度 第3問【指数分布】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2017（平成29）年度の数学（一般教育科目）第3問について解答・解説します．

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※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

平均値$${E[T]}$$は

$$
\begin{aligned}E[T]&=\int_{-\infty}^\infty tf(t)\mathrm{d}t\\&=\int_0^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\&=-\int_0^\infty t\left(e^{-\lambda t}\right)'\mathrm{d}t\\&=-\left[te^{-\lambda t}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\&=0+\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty\\&=0-\left(-\frac{1}{\lambda}\right)\end{aligned}
$$

$$
\therefore E[T]=\frac{1}{\lambda}\tag{答}
$$

である．
確率分布関数$${F(t)}$$は

$$
\begin{aligned}F(t)&=P(T\lt t)\\&=\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm{d}t\\\end{aligned}
$$

である．よって，$${t\lt 0}$$のとき

$$
F(t)=0
$$

となり，$${t\ge 0}$$のとき

$$
\begin{aligned}F(t)&=\int_0^t\lambda e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\&=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^t\\&=1-e^{-\lambda t}\end{aligned}
$$

となる．ゆえに

$$
F(t)=\begin{cases}1-e^{-\lambda t} & (t\ge 0)\\0 & (t\lt 0)\end{cases}\tag{答}
$$

である．

解説

確率密度関数から平均値（期待値）と確率分布関数を積分により求める問題です．