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【院試解答】東大院 情報理工 数学 2017年度 第3問【指数分布】
東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です.この記事では2017(平成29)年度の数学(一般教育科目)第3問について解答・解説します.
※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません.正確性についての保証は致しかねます.
(1)
解答
平均値$${E[T]}$$は
$$
\begin{aligned}E[T]&=\int_{-\infty}^\infty tf(t)\mathrm{d}t\\&=\int_0^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\&=-\int_0^\infty t\left(e^{-\lambda t}\right)'\mathrm{d}t\\&=-\left[te^{-\lambda t}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\&=0+\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t}\right]_0^\infty\\&=0-\left(-\frac{1}{\lambda}\right)\end{aligned}
$$
$$
\therefore E[T]=\frac{1}{\lambda}\tag{答}
$$
である.
確率分布関数$${F(t)}$$は
$$
\begin{aligned}F(t)&=P(T\lt t)\\&=\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm{d}t\\\end{aligned}
$$
である.よって,$${t\lt 0}$$のとき
$$
F(t)=0
$$
となり,$${t\ge 0}$$のとき
$$
\begin{aligned}F(t)&=\int_0^t\lambda e^{-\lambda t}\mathrm{d}t\\&=\left[-e^{-\lambda t}\right]_0^t\\&=1-e^{-\lambda t}\end{aligned}
$$
となる.ゆえに
$$
F(t)=\begin{cases}1-e^{-\lambda t} & (t\ge 0)\\0 & (t\lt 0)\end{cases}\tag{答}
$$
である.
解説
確率密度関数から平均値(期待値)と確率分布関数を積分により求める問題です.
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