【院試解答】東大院 情報理工 数学 2023年度 第3問【ベルヌーイ試行の連続成功確率】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第3問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

$${M=1}$$のとき，$${l}$$を正の整数として，$${L=l}$$となるのは丸石を$${l-1}$$個連続して並べた直後に四角い石を1個並べるときであるから，その確率$${P(L=l)}$$は

$$
P(L=l)=(1-q)^{l-1}q
$$

である．よって，$${L}$$の平均$${E[L]}$$は

$$
\begin{aligned}
E[L]
&=\sum_{l=1}^\infty lP(L=l)\\
&=\sum_{l=1}^\infty l(1-q)^{l-1}q\\
&=q\sum_{l=1}^\infty l(1-q)^{l-1}\\
\end{aligned}
$$

となる．ここで

$$
S_u=\sum_{l=1}^u l(1-q)^{l-1}
$$

とおくと

$$
(1-q)S_u=\sum_{l=2}^{u+1} (l-1)(1-q)^{l-1}
$$

であるから，辺々を引くと

$$
\begin{aligned}
S_u-(1-q)S_u&=\sum_{l=1}^u(1-q)^{l-1}-u(1-q)^u\\
qS_u&=\frac{1-(1-q)^u}{1-(1-q)}-u(1-q)^u\\
&=\frac{1-(1-q)^u}{q}-u(1-q)^u\\
S_u&=\frac{1-(1-q)^u}{q^2}-\frac{u(1-q)^u}{q}\\
\therefore\lim_{u\to\infty}S_u&=\frac{1}{q^2}
\end{aligned}
$$

となる．ゆえに

$$
E[L]=q\times\frac{1}{q^2}
$$

$$
\therefore E[L]=\frac{1}{q}\tag{答}
$$

である．

$${L}$$の分散$${V[L]}$$は

$$
\begin{aligned}
V[L]
&=E[L^2]-(E[L])^2\\
&=\sum_{l=1}^\infty l^2P(L=l)-\frac{1}{q^2}\\
&=\sum_{l=1}^\infty l^2(1-q)^{l-1}q-\frac{1}{q^2}\\
&=q\sum_{l=1}^\infty l^2(1-q)^{l-1}-\frac{1}{q^2}
\end{aligned}
$$

となる．ここで

$$
T_u=\sum_{l=1}^u l^2(1-q)^{l-1}
$$

とおくと

$$
(1-q)T_u=\sum_{l=2}^{u+1} (l-1)^2(1-q)^{l-1}
$$

であるから，辺々を引くと

$$
\begin{aligned}
T_u-(1-q)T_u
&=\sum_{l=1}^u [l^2-(l-1)^2](1-q)^{l-1}-u^2(1-q)^u\\
qT_u&=\sum_{l=1}^u [2l-1](1-q)^{l-1}-u^2(1-q)^u\\
&=2\sum_{l=1}^u l(1-q)^{l-1}-\sum_{l=1}^u (1-q)^{l-1}-u^2(1-q)^u\\
&=2\left[\frac{1-(1-q)^u}{q^2}-\frac{u(1-q)^u}{q}\right]-\frac{1-(1-q)^u}{1-(1-q)}-u^2(1-q)^u\\
&=\frac{2}{q^2}-\frac{1}{q}-\frac{q(u^2q+2u-1)+2}{q^2}(1-q)^u\\
T_u&=\frac{2-q}{q^3}-\frac{q(u^2q+2u-1)+2}{q^3}(1-q)^u\\
\therefore\lim_{u\to\infty}T_u&=\frac{2-q}{q^3}
\end{aligned}
$$

となる．したがって

$$
\begin{aligned}
V[L]
&=q\times\frac{2-q}{q^3}-\frac{1}{q^2}
\end{aligned}
$$

$$
\therefore V[L]=\frac{1-q}{q^2}\tag{答}
$$

である．

別解（一部）

一般に$${0\lt r\lt 1}$$に対して

$$
T=\sum_{l=0}^\infty r^l=\frac{1}{1-r}
$$

は項別微分可能で

$$
\frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}r^2}=\sum_{l=0}^\infty l(l-1)r^{l-2}=\frac{2}{(1-r)^3}
$$

となるから

$$
\begin{aligned}
\sum_{l=0}^\infty l^2r^l
&=r^2\sum_{l=0}^\infty l^2r^{l-2}\\
&=r^2\left[\sum_{l=0}^\infty lr^{l-2}+\frac{2}{(1-r)^3}\right]\\
&=\sum_{l=0}^\infty lr^l+\frac{2r^2}{(1-r)^3}\\
\end{aligned}
$$

となる．よって

$$
\begin{aligned}
\sum_{l=1}^\infty l^2(1-q)^{l-1}
&=\frac{1}{1-q}\sum_{l=0}^\infty l^2(1-q)^l\\
&=\frac{1}{1-q}\left\{\sum_{l=0}^\infty l(1-q)^l+\frac{2(1-q)^2}{[1-(1-q)]^3}\right\}\\
&=\sum_{l=0}^\infty l(1-q)^{l-1}+\frac{2(1-q)}{q^3}\\
&=\frac{1}{q^2}+\frac{2(1-q)}{q^3}\\
&=\frac{2-q}{q^3}\\
\end{aligned}
$$

解説

幾何分布の平均（期待値）と分散を求める問題です．
$${L}$$を1から順に$${\infty}$$まで増やしていき，そのときの確率を考慮しながら総和（無限和）を取れば平均と分散を求められます．

（等差）×（等比）数列および（二乗）×（等比）数列の級数を求めることになりますが，高校数学を思い出して解きましょう．