インドラの真珠：複素関数(1)

複素数を変数とする関数 f(z) を考えます。このとき，複素数平面で、zと関数の値 f(z) (これを「ｚの像」ともいいます) がどのような位置関係にあるかがテーマです。
「インドラの真珠：複素数の和と積」で調べたのは次の事柄でした。

・複素数の和は平行移動
・複素数の積は回転

これを基本として，実際にいろいろな関数について実験するツールを作りました。

複素関数(1)

リンク先を開くと次の画面になります。左側に関数を選ぶ６つのボタンがあります。これらが表示されていない場合は再読み込みしてください。

関数はいずれも複素数を変数とする関数です。また，係数の$${a}$$ を変えられるようにしました。初めに 「$${f(z)=z^a}$$」ボタンをクリックして選んでみましょう。赤い点が実軸上の２のところにあるので，$${f(z)=z^2}$$です。係数は$${a=2}$$ のまま，関数のボタンをクリックして次々に表示してみましょう。

関数のボタンをもう一度クリックすると選択状態が解除されます。
緑の点がzです。ドラッグして値を変更することができます。
赤い点を動かせば係数$${a}$$ を変えることができます。煩雑にならないように，小数点以下第2位を四捨五入した値になるようにしています。実軸から離れれば複素数にできます。次の図は関数を $${f(z)=z^a}$$ だけにして，aの値を３にした図です。

次の図は，$${f(z)=az}$$ で，$${a=i}$$ にした図です。$${i}$$ をかけると90°回転になるのでした。

$${f(z)=\dfrac{1}{\overline{z}}}$$ は円に関する鏡映でした。$${a=2}$$ の場合は，半径$${\sqrt{2}}$$の円に関する鏡映になります。その円が点線で表示されます。

「単位円周上」ボタンをクリックすると，点z は単位円周上だけを動くことができます。

いろいろと実験してみましょう。

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