Cinderellaでカオスを描く：面積保存型カオス

2022年5月23日 13:59

前節「Cinderellaでカオスを描く：繰り返し関数の分類」で分類した中の「(1) 面積保存型カオス」です。
式は，「Cinderellaでカオスを描く:鳥の翼」と似ています。$${x_{n+1}}$$ の$${y_n}$$の係数は 1 に固定で末項（定数）がありません。$${y_{n+1}}$$ の$${x_n}$$ の係数も$${-1}$$に固定で，可変とするのは $${x_{n+1}}$$ の第２項の$${x_n}$$の係数だけです。

　　　$${x_{n+1}=y_n+a x_n+\dfrac{5}{1+x_n^2}}$$
　　　$${y_{n+1}=- x_n}$$

この係数を−２から２まで変化させるとさまざまなアトラクタができます。
「カオスＣＧコレクション」（川上博著：サイエンス社：以下「この本」）には，係数を小数点以下2位までにしたものを34個載せています。次がその一例です。（51,53ページ）

放射状のものから花のようなもの，鳥の翼で出てきたようなもの，顔のようなもの，シンボルマークのようなものなどいろいろあります。
どれも正方形の中に対称形に描かれていますが，実際にはそうではありません。図が小さくて見えませんが，縦横のスケールが異なるのです。左上の放射状のものは縦横比が 3:40 になっています。縦のスケール30に対し，横は400です。それを横方向に圧縮して縦横を合わせると放射状に見えるのです。（すこしわかりにくいでしょう，あとで実際に試します）
係数$${a}$$ を−２から２まで変化させるのですが，0.01 ごとに変化させると401（$${a=0}$$も含む）の図ができることになります。実際には，0.01 増減してもあまり変わらないこともあれば，ガラッと変わってしまうこともあります。見出し画像は，はじめは閉曲線だったものを，係数を0.01 ずつ変えていったときの図の変化です。
また，関数の反復回数などによっても異なる図ができ，着色すると趣の異なる図になります。したがって，バリエーションは400には収まらないでしょう。

では，これを「実験」しましょう。

リンク先を開くとつぎの画面になります。

初期値は$${(1,0)}$$です。係数は $${a=0}$$ なので，$${x_{n+1}=y_n+\dfrac{5}{1+x_n^2}}$$ です。この場合は閉曲線になるわけです。
係数のスライダを動かして，この本に掲載されている図の１番目にしてみます。$${a=-1.98}$$ です。斜めに点が散在しています。着色は256色です。

この本に掲載されている図とは似ても似つかないものです。何が違うのでしょうか。
前述のように，縦横のスケールが異なるのですが，それだけではありません。この本のプログラムでは，$${(x_n,y_n)}$$ をそのままプロットしているのではなく，変換してプロットしているのです。プログラムはちょっと違いますが，原点周りに135°回転すると同じ結果が得られます。
そこで，左にある円形スライダで135°回転し，縦横比を小さくしていくと次の図が得られます。回数も増やしました。

回転と縦横比でここまで変わるのです。再度，念のために書いておきますが，計算のときにはこの図の点の座標を使うのではなく，プロットするときに変換してプロットしています。
このまま回数を変えてみましょう。いったん少ない方に戻すと，図の大きさが変わります。はじめは小さい図なのです。これがあるところから大きくなり，模様も変化していきます。