インドラの真珠：複素数の和と積
２乗すると$${-1}$$になる数を考え，これを $${i}$$ で表します。$${i^2=−1}$$ です。これを「虚数単位」といいます。
2つの実数 $${a, \ b}$$ に対して，$${a+bi}$$ という数を考え，これを複素数といいます。a を実部，b を虚部といいます。
直線上の点を実数に対応させて数直線ができるように、平面上の点を複素数に対応させたものが複素数平面です。複素平面、ガウス平面ともいいます。直交座標系の x 座標が実部、y 座標が虚部に対応します。そこで、複素数平面では x 軸のかわりに「実軸」、y 軸のかわりに「虚軸」といいます。また、ベクトルによる位置の表現（位置ベクトル）にも類似しています。
複素数の和
２つの複素数の和は $${(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i }$$です。
これを複素平面で考えると、次のようになります。リンク先を開いてみましょう。
リンク先を開くと次の画面になります。 $${(6+2i)+(3+5i)}$$ の場合です。
点$${a, \ b}$$（ベクトルの終点）をドラッグしてみましょう。直交座標系で考えると、x座標とy座標をそれぞれ加えたことになり、点の平行移動です。
また、原点を始点とするベクトルの和とも対応します。
複素数の積
複素数の積は、次のように計算されます。
$${(a_1+a_2 i)(b_1+b_2 i)=(a_1 b_1−a_2 b_2)+(a_1 b_2+a_2 b_1)i }$$
これを複素数平面で表すと次のようになります。次のリンク先を開いてみましょう。具体的に$${(3+i)(1+2i)}$$ の場合を示しています。
リンク先を開くと次の画面になります。
点 a, b（ベクトルの終点）をドラッグしてみましょう。ab の点は，ベクトル a を，ベクトルbの角だけ反時計回りに回転し，長さは２つのベクトルの長さをかけたものになります。ベクトル b をベクトルaの角だけ反時計回りに回転したと考えることもできます。複素数平面では，積は原点周りの回転と原点からの距離の積になるのです。
どういう意味かは，２つの複素数を極形式という方法で表して考えます。
極形式とは，原点からの距離 $${r}$$ と、$${x}$$ 軸の正の方向とのなす角$${\theta}$$を用いて、$${r( \cos \theta+i \sin\theta)}$$ と表したものです。座標でいうと，$${x=r \cos \theta, \ y=r \sin \theta}$$ になりますね。$${r}$$ をこの複素数の絶対値，$${\theta}$$ を偏角といいます。たとえば，
$${1+\sqrt{3}i=2(\cos \dfrac{π}{3}+i \sin \dfrac{π}{3})}$$
と表せます。
極形式を用いると２つの複素数の積は次のように計算されます。(三角関数の加法定理を用います)
$${r_1( \cos \theta_1+i \sin \theta_1)⋅r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)}$$
$${=r_1 r_2\{\cos (\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}}$$
この計算結果が示しているのは次のことです。
複素数の積では、絶対値は積となり、偏角は和となる
図形的には、偏角の分だけ回転して、距離を掛けたところに点を置くことになります。
このことは，複素数平面で図形を考えるときに重要な性質です。たとえば，１辺を与えて正方形を描くことを考えましょう。$${i=\cos 90 ^{\circ}+i \sin 90^{\circ}}$$ なので，$${i}$$ をかければ90度回転した点が得られます。
$${-i}$$ をかければ−90度回転した点が得られます。これと平行移動を使えば，正方形の頂点をとることができるわけです。同じ考え方で，１辺を与えて，正五角形など，一般的な正多角形を描くことができます。
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ここからあとは，Cinderellaでの複素数・複素数平面の扱いについて説明します。Cinderellaを持っていない人は，こちらからダウンロードしましょう。詳しくはCinderellaJapan のページに説明があります。
Cinderellaを開いたら，画面下の「グリッドにスナップする」ツール（磁石アイコン）をクリックして，座標軸・方眼を表示しておきます。
画面上の「点を加える」ツールを選択し，適当なところでクリックして点を取ります。このとき，マウスボタンを押したら，そのまま方眼の格子点までドラッグしますと，格子点に吸い付くように点の位置が決まります。これが「スナップモード」です。点の名前は自動的にAになります。もう一つ点Bをとっておきます。
画面上方のメニューから「スクリプト」ー「CindyScript」を選んでCindyScriptエディタを表示します。左側にある「スロット」から「Draw」を選んで右の広いエリアをクリックし，次のスクリプトを書きます。「スロット」が表示されていない場合は境界線をドラッグすると現れます。
z1=complex(A.xy);
z2=complex(B.xy);
draw(gauss(z1+z2));
Shift+Enter で実行すると緑の点が現れます。
スクリプトの意味を説明しましょう。
z1=complex(A.xy); は，点Aのxy座標を複素数に変換します。complex() は組み込み関数です。
draw(gauss(z1+z2)); は，複素数 z1+z2 をxy座標に変換して点を表示します。gauss() は組み込み関数です。
点A, B をドラッグして，緑の点がA,Bを平行移動した点になっていることを確かめましょう。
３行目を
draw(gauss(z1*z2));
に変えれば，緑の点はz1とz2の積を表す点になります。
→次節：共役複素数