自己平方フラクタルの拡張
複素数 $${z}$$ または $${c}$$ を $${f(z)=z^2+c}$$ によって次々に変換したとき，原点から遠ざかるかどうかで分類したものが「自己平方フラクタル」。初期値を $${z=0}$$ として，$${c}$$ を分類したのがマンデルブロ集合で，$${c}$$ を固定して$${z}$$ を分類したのがジュリア集合である，と考えてよいでしょう。ただし，「フラクタルCGコレクション 渕上季代絵 サイエンス社」（以下，この本）では，ジュリア集合については別の定義をしています。
さて，この本には，マンデルブロ集合のところに，$${f(z)=z^3+c}$$ と$${f(z)=z^6+c}$$ の図が載っていて，「$${f(z)=z^n+c}$$ の場合，丸いコブが中央に$${n-1}$$ 個現れます」と説明されています。
実際にやってみましょう。
「Cinderellaへのいざない：マンデルブロ集合」でやったものとほとんど同じですが，左下に「指数」のスライダがあります。これを動かして指数を３にすると，次の図になります。
指数を6にすると，下図左になりますが，拡大していったときに，指数が２のマンデルブロ集合とさほど変わったことはありません。たとえば，下図右のように「入江」の中のそのまた入江の数が増えますし，海岸線がリアス状になっていきますが（海と陸地にたとえて）そのくらいの違いです。まあ，たいしたことはないといっていいでしょう。この本でも細部を探索した図はほとんど載っていません。
ついでに，$${n=1}$$ の場合もみておきましょう。 $${f(z)=z+c}$$ です。これは単なる平行移動ですから，単純な図になることは想像できるでしょう。同心円ができて，「深度」を深くすると右のように同心円の数が増えます。これはこれできれいなものです。
では，ジュリア集合の方はどうか。この本では，前述のようにジュリア集合の定義が異なるので，これについては掲載されていません。やってみると，こちらは実に多彩な結果になります。
これも，「自己平方フラクタル(2)ジュリア集合」でやったものに，指数のスライダが追加されただけです。したがって，初期画面は同じですが，指数だけ3にしてみるとつぎのようになります。
図がガラッと変わってしまいました。この図は閾回数を 300 , 400 にしてもあまり変わりません。
では，左の白い点をドラッグして $${c}$$ の値を変えてみましょう。
この図も，300 と 400 にしてもあまり変わりません。しかし，ここからほんの少し動いた次の図では，300，400にすると中の渦巻き状のところが変わります。
次の図は指数が7の場合です。これも300，400でだいぶ変わります。色合いまで変わってしまうのです。
指数は実数にすることもできます。整数でない実数の場合はどうなるでしょうか。
指数とｃの位置（値）の組み合わせで実にさまざまな図が出現します。「配色」スライダで色を変えるとまた趣が変わります。
いろいろやってみましょう。