行列　定義と種類　線形代数学

行列の定義は、堅苦しく書くので、堅苦しいのが苦手な場合は、行列の例を最初に見て、定義を確認するとよい。

定義

自然数$${m,n}$$に対し、実数$${a_{ij}(i = 1,2,\dots,m; j=1,2,\dots,n)}$$を縦に$${m}$$個、横に$${n}$$個並べた、

$$
 \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
$$

を$${m \times n}$$行列、$${m}$$行$${n}$$列行列、$${(m , n)}$$型行列あるいは、単に行列という。各要素を複素数で定義することもあるが、ここでは、初学者も考慮して簡単のために実数で定義している。

$$
 \bm{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
$$

のように表す場合、行列$${\bm{A}}$$という。

横方向に並んだものを行といい、上から$${i}$$番目の行を第$${i}$$行という。
また、縦方向に並んだものを列といい、左から$${j}$$番目の列を第$${j}$$列という。
行列を構成している各要素を行列の成分という。第$${i}$$行、第$${j}$$列にある成分を$${(i,j)}$$成分といい、$${a_{ij}}$$のように表す。

行列の例

定義をまとめると、図1のようになる。

図1 行列の定義

具体的な例を見ていく。以下のような行列$${\bm{A}}$$について、

$$
 \bm{A} = \begin{pmatrix}
2 & 6 &10 \\
-5 & -9 & 1 \\
4 & 3 & 12 \\
\end{pmatrix}
$$

1. 何行何列の行列か

2. 第2行の成分は何か

3. 第3列の成分は何か

4. (3, 1)成分は何か

を考える。

1. 何行何列の行列か
   行列$${\bm{A}}$$は縦に3個、横に3個並んでいるため、3行3列の行列である

2. 第2行の成分は何か
   行列$${\bm{A}}$$ の第2行の成分は、(-5, -9, 1)の3つである。

3. 第3列の成分は何か
   行列$${\bm{A}}$$ の第3列の成分は、(10, 1, 12)の3つである。

4. (3, 1)成分は何か
   行列$${\bm{A}}$$の第3行、第1列の成分は、4である。

行列の種類

零行列

成分がすべて0の$${(m,n)}$$型行列を$${(m,n)}$$型零行列または、零行列といい、$${\bm{O}_{m,n}}$$もしくは$${\bm{O}}$$と書く。

$$
 \bm{O} = \begin{pmatrix}
0 &\cdots &0 \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
0 &\cdots &0 \\
\end{pmatrix}
$$

正方行列

行数と列数が等しい行列を正方行列といい、$${(n,n)}$$型行列を$${n}$$次正方行列という。

$$
\bm{A} = \begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix},\quad
\bm{B} =\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3&4
\end{pmatrix},\quad
\bm{C} =\begin{pmatrix}
1 & 2& 3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{pmatrix}
$$

行列$${\bm{A}}$$は、1次正方行列、行列$${\bm{B}}$$は、2次正方行列、行列$${\bm{C}}$$は、3次正方行列である。

単位行列

正方行列の中でも、対角成分のみが1で、それ以外の成分が0の行列を単位行列といい、$${\bm{E}}$$で表す。

$$
 \bm{E} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0