■ 其の190 ■ 最大公約数の問題　 　『30107、52003、58259 の最大公約数　を求めよ。電卓使用OK！』

３０１０７　　５２００３　　５８２５９
　　小　　　　　　中　　　　　　大
どれも約数を見つけるのは難しそう
すべて奇数で、しかも３が約数になっていない
素因数分解できそうにない
困った！

こういう時は、まず２つの数を選んで、公約数を求める
方法は、ユークリッドの互除法
中学生がイメージできるように分かりやすく
大きい数 ÷ 小さい数 ＝ 商 … 余り　と書く
　　Ａ　 ÷       Ｂ      ＝ Ｃ  …   Ｄ　　
次にＢとＤについて、同様の式を書く
これを続けていくと、余りが０になる時がくる
余りが０になった時、Ｂが公約数である

では、実戦してみます
まず　３０１０７　　５２００３　を選ぶ　
　　　　　小　　　　　　中
５２００３ ÷ ３０１０７＝ １ … ２１８９６ 
３０１０７ ÷ ２１８９６＝ １ … ８２１１
２１８９６ ÷ ８２２１＝ ２ … ５４７４
８２２１ ÷ ５４７４＝ １ …  ２７３７
５４７４ ÷ ２７３７＝ ２ … ０
よって、３０１０７ と ５２００３ の公約数は、２７３７
　
次に　５２００３　　５８２５９　を選ぶ
　　　　　中　　　　　　大
５８２５９ ÷ ５２００３＝ １ … ６２５６
５２００３ ÷ ６２５６＝ ８ … １９５５
６２５６ ÷ １９５５＝ ３ … ３９１
１９５５ ÷ ３９１＝ ５ … ０
よって、５２００３ と ５８２５９の公約数は、３９１

次に　３０１０７　　５８２５９　を選ぶ
　　　　　小　　　　　　大
５８２５９ ÷ ３０１０７＝ １ … ２８１５２
３０１０７ ÷ ２８１５２＝ １ … １９５５
２８１５２ ÷ １９５５＝ １４ … ７８２
１９５５ ÷ ７８２＝ ２ … ３９１
７８２ ÷ ３９１＝ ２ … ０
よって、３０１０７ と ５８２５９の公約数は、３９１

２つの公約数のうち小さい方が３つの数の最大公約数である
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　３９１

念のため２７３７ を ３９１で割ってみる
２７３７ ÷ ３９１ ＝ ７
割り切れたのでOＫ！

《 追加説明 》
なぜ３つの数の最大公約数は小さい方なのか？
３つの数の最大公約数は、三つのケースがある
１）公約数が共通の場合　
　　４　６　１０ のケース
　　　４と６の公約数は ➡２
　　　４と１０の公約数は ➡２
　　　６と１０の公約数は ➡２
　　　もちろん最大公約数は２
２）公約数が２つが同じで１つが異なる場合
    　４　６　１８ のケース
　　　４と６の公約数は ➡２
　　　４と１８の公約数は ➡２
　　　６と１８の公約数は ➡６
　　　小さい方の２が最大公約数になる
３）公約数が３つとも異なる場合
    　６　１０　３０ のケース
　　　６と１０の公約数は ➡２
　　　６と３０の公約数は ➡６
　　　１０と３０の公約数は ➡１０
　　　一番小さい２が最大公約数になる
　　
　　


　

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