モンテカルロ積分

問題

$${\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{e^{-x^2 / 2}}{\sqrt{2 \pi}} dx}$$
この積分をモンテカルロ積分(乱数を発生されることにより、積分値を求める方法のこと)により求めてみましょう。

解答

$${X}$$は$${\mathcal{N}(0, 1)}$$に従い、$${X_1,X_2,X_3…X_n}$$は独立に$${\mathcal{N}(0, 1)}$$に従い、$${n}$$は十分大きいとすると、

$${\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2 / 2}  dx=\mathbb{E}[X^2] \approx\frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}{n}}$$

以下のような乱数を発生させることにより、$${\frac{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}{n} }$$を求めることができる。従って、求めるべき積分値は１となる。