数学は面白い!＃1(テイラーの定理とネイピア数)

こんにちは!　
今回は、早速ですが、最近数学で面白いと感じたことを書こうと思います!　数式をどう書くか迷った結果、Latexで数式を書いた後に数式を張るという謎の技でとりあえず今回はやっていきます。

ネイピア数とは

ネイピア数の定義

具体的な数値では、e=2.71828・・・です。
無理数です。
覚え方は、「ふなひとはちふたはち」と聞いたことがあります。　　　　

テイラーの定理とは

テイラーの定理

ここで、ｃは、0<θ<1 を用いて、c=a+θ(b-a)と書くこともできます。
(∵)0<θ<1に辺々b-a(>0)をかけてaを足すと、a<θ(b-a)<bとなるからです。（私は、1周目に勉強した時はこれがわからなくてなんで急にθ？と思っていたのですが、2周目に勉強してようやく理解しました。わからないところがあってもそのまま少し前に進んで勉強すると、いつの間にか理解できるようになっていることが私はよくあります。不思議。）

赤い文字の部分を剰余項といいますが、ここの表現の形にはいくつか種類があるようで面白そうなのですが、私はそのあたりがまだあまり理解できていません。理解できたら面白いということで記事になるかもしれません。（勉強します。）

また、この定理の証明では、ロルの定理を用いる方法やコーシーの平均値の定理を用いる方法があります。私は、1周目にこの定理を勉強した時は、ロルの定理を用いた方法を勉強しましたが、2周目にコーシーの平均値の定理を用いた証明を勉強したら、証明が鮮やかというか、自然な流れでとても感動した記憶があります。これも追々記事にできたらうれしいと思っています。

面白いと思ったこと

私が面白いと思ったのはテイラーの定理の剰余項を利用することでネイピア数を近似できるということです。実際にやってみます。

実際の計算

e≒2.71とわかりました。もっとｎの値を大きくすれば、もっと細かくeの値が出せそうです。（計算地獄になりそうですが。）

少しでも面白いと思っていただけたら幸いです！
今後も週1回以上の投稿を目標に頑張ります！