高校数学。最大値、極限値の「値」とは何か。

高校数学で、いわゆる白丸のところで「最大値なし」という答えに戸惑ったり、「－1の整数乗の極限値は偶数のときは1で奇数のときは－1って答えちゃダメなの？」という質問をもらうことがある。
これらの疑問は「値」とは何なのかが概念的にわかっていれば一挙に解決する。簡潔に説明しよう。

値とは「有限確定値」である。

これを覚えておくとよい。「有限」であり、かつ「いくつ」と具体的に言える数値で、しかもそれが「ただ一つ」に確定しているということだ。

y＝x(0≦x＜1)の最大値は1と言ってはダメなのだろうか。
1という値を実際に取らないことはわかっていただいていると思う。いわゆる白丸だ。0.999いやもっと1に近づける。0.99999いやもっと1に近づける0.999999999というように1に近づけてどんどん大きくできるて、1に限りなく近づく。しかし1にはならない。この「限りなく」というのは有限ではないという意味なのは漢字を見ればわかる。
具体的にいくつなのかも定まった数値としては言えない。具体的に0.99999999と言っても、「いや、もっと大きいのあるよ」と言われてしまう。
よって最大「値」は、「なし」としてしまってよい。

－1の整数乗も－1と1という二つの数値が出てきてしまうので、有限ではあるが「確定値」ではないので極限値はなしと言ってしまってよい。

ちなみに極限値について、1/n、n→∞のとき極限値は0だというのは知っていると思う。
このとき1/n自体は0そのものにはならない。しかし限りなく近づくのは0という有限確定値である。

極限値について少し詳しく話すと、極限値αと1/nの差である|1/n－α|がn→∞において0より大きい有限確定値を取れない。さっきと同じで例えば0.00001という数値を持ち出してもnをとんでもなく大きくすればそれより小さい差となるのはわかるだろう。そうなると差が正の数とならない、つまり差が0であるということになる。(絶対値は0以上)
これをもってn→∞において1/nの極限値はαだと言えるというのが、極限値の定義なのである。
無限大という直観できないものを、有限な値を使って思考し、無限の挙動を捉えるというのが面白い。
整数や有限な値など、確実に直観できるものから歩みを進めていくのが数学的思考なのだというのがわかる。

tan90°が「定義されない」という表現を目にすることもあるが、これも有限確定値にはならないという意味だ。(もちろん∞になる)

関数の「連続」や「微分可能」というのも有限確定値があるかどうかという話をしている。

y＝[x]はx＝1において連続か。
x→1-0の極限は0.99、0.9999、0.9999999のように小さい方からいくら1に近づいても小数部分を切り捨てるから0となる。
x→1+0の極限は1.01、1.00001のように大きい方からいくら1に近づいても整数部分は1のままだから1となる。
よって一つの値になっていないから「連続ではない」が答えとなる。

y＝|x|はx＝0において小さい方からでも大きい方からでも値は0に近づくので連続ではあるが、微分可能ではない。
x→1-0での傾きは-1なのにx→1+0での傾きは1となり、やはりただ一つの値となっていない。よって微分可能ではない。

ちなみに連続ではないと微分可能ではない。
y＝[x]の例で言うとx＝1の点で、xは無限小しか増えていないのにyの値は0から1へと1増えている。不連続、つまり違う値ということは差が正の有限確定値ということだ。
そうすると1÷0の形になっており無限大となる、つまり有限確定値ではないということから連続ではないと微分可能ではないというのは当然なのだ。

微分係数の定義は平均変化率の極限であり、普段公式などを使って微分係数を計算するとき、xの増加分もyの増加分もどちらも無限小なのだ。0÷0の形だからこそ有限確定値となりうる。正の定数÷0だとそうはならない。
このイメージがあれば、連続と微分可能の包含関係は暗記するまでもないであろう。

「有限確定値」という概念で、ちょっとした疑問点がすっきり整理されたと思ってもらえたらうれしい。