水平方向に $${x}$$ 軸，鉛直下方に $${y}$$ 軸をとる． 原点から，曲線 $${y=y(x)}$$ に沿って降下する物体が，点$${(x_1,y(x_1))}$$ まで最速で到達するような曲線を求める． 原点から点 $${(x, y(x))}$$ までの曲線の長さを $${s(x)}$$ とすると，物体の速さは $$ v=\frac{ds}{dt} $$ また，エネルギーの保存則より $${\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgy}
関数 $${f}$$ が $${x}$$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ． $${f=f(y, y')}$$ とする． $$ \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right) $$
積分 $$ I=\int_a^bf(x,y,y'),dx $$ が停留値をとるような関数 $${y=y(x)}$$ を求めることを考える．$${y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)}$$，$${\delta(a)=\delta(b)=0}$$ とおく．$${\delta(x)}$$ は 関数 $${y_0(x)}$$ に対する変分を表す関数． 任意の $${\delta(x)}$$ について $${\varepsilon=0}$$ に
糸の両端を固定して垂らしたときに，糸がつくる曲線を懸垂線（カテナリー）という．変分法を用いて，この曲線の方程式を求める． 糸の線密度を $${\rho}$$ とし，両端を点 $${(-x_0,\,y_0)}$$ と点 $${(x_0,\,y_0)}$$ に固定する．また，糸の長さを $${L}$$ とする． 束縛条件 $$ \displaystyle L=\int_{-x_0}^{x_0} \sqrt{1+y'\,^2}\,dx $$ のもとで，糸の位置エネルギー $${
