確率の問題 〜 出た目に応じてコインをもらう

こんな確率の問題を考えてみました。

サイコロを振って、1から5の目が出たら、出た目の分だけコインをもらえるが、6が出たら持っているコインを全て没収されるとする。コインを1枚も持っていない状態から始めて、サイコロを $${N}$$ 回振った後のコインの所持枚数を $${X_N}$$ とするとき、その期待値 $${E[X_N]}$$ を求めよ。

とりあえず答えを出してみようと思って力技で計算してみたら、答えは

$$
E[X_N] = 15\Bigl(1-\Bigl(\dfrac56\Bigr)^N\Bigr)
$$

になりました。思いのほかきれいな答え！これは

$$
E[X_N] = \dfrac52\sum_{k=1}^N \Bigl(\dfrac56\Bigr)^{k-1}
$$

とも書けるので、

$$
E[X_{N+1}] = E[X_N] + \dfrac52 \Bigl(\dfrac56\Bigr)^N
$$

という漸化式が成り立つということですよね。問題の意味を考えることで、この漸化式が成り立つことが直接に分かるのかもしれないけれど、私はまだダメです。どう考えると良いのかなあ。