ミステリ読み以外の趣味について～数学を少し覗いてみよう～その1……数列の収束編

・はじめに

　高校までの数学でどんなことを学習したか、覚えている方もいらっしゃることと思います。では、大学ではどのような数学を学ぶのでしょうか？
　分野は本当に多岐にわたり、ここに書くには紙幅が足りないですが、ちょっとだけ覗いた気分になってみましょう。
　一歩進んだ気持ちになって（？）、大学の初めのころにどのような数学を学ぶかについて、少し触れたいと思います。今回は数列の収束に関してです。

・本題

　高校までの数学では、数列の収束について若干曖昧な表現がされていたと思います。
　例えば、$${\lim\limits_{{n}\rightarrow{\infty}}\dfrac{1}{n}=0}$$のような形で習ったと思います。
　これでも十分厳密に思えるかもしれませんが、$${n}$$を$${\infty}$$に発散させる、とは具体的にどのようなことなのでしょうか。$${\infty}$$は決まった実数ではありえません。概念的な存在と言えるでしょう。
　では、極限や収束を大学の数学で扱うときにどのような記述の仕方をするかというと、「$${ε-N}$$論法」というものを用います。

十分に大きい$${{N}\in{\N}}$$が存在し、$${n>N}$$とする（ただし$${{n}\in{\N}}$$）。$${\forallε>0}$$に対し、$${\rvert a_{n}-α\rvert<ε}$$が成り立つとき、$${a_n}$$は$${α}$$に収束する、という。

　$${\N}$$とは自然数全体の集合のことで、$${\forall}$$とは「任意の」（すべての）という意味です。
　巨大な自然数$${N}$$に対し（例えば$${10^{1000}}$$など）、もっと大きい自然数$${n}$$があって、その数列の値と$${α}$$の絶対値が任意の$${ε}$$より小さければ（これも例えば$${ε}$$を$${10^{-1000}}$$より小さく取ったとしても）、$${\lim\limits_{{n}\rightarrow{\infty}}a_n=α}$$と言える、といった感じです。

　数列$${a_n}$$に対し、$${n}$$をどんどん大きくすると$${a_n}$$もどんどん大きくなるのに、$${a_n}$$がある実数の値を越えないとき、数列$${a_n}$$は「上に有界である」といいます（逆のことを「下に有界」といいます）。
　また、これは定理としても決まりとしても覚えていていいのですが、「上に有界な増加数列は収束する」というものがあります（もちろん、「下に有界な減少数列は収束する」とも言えます）。
　一応証明してみると、

集合$${A=(a_{1},a_{2},\dots)}$$の上限を$${α}$$とする。
任意の$${ε>0}$$に対して$${α-ε}$$は$${A}$$の上界ではなく、
$${α-ε<{a_{n_0}}}$$となる$${n_0}$$が存在する。
$${n>n_0}$$ならば、$${α-ε<{a_{n_0}}<{a_n}<α<α+ε}$$
$${α-ε<{a_{n}}<α+ε}$$より$${\rvert a_{n}-α\rvert<ε}$$
よって上に有界な増加数列は収束する。

　また、その後の定理として「有界な数列は収束する部分列を持つ」というものがあります。これを「ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理」といいます。なんだかかっこいい名前の定理ですね。この定理はもっと拡張していえることがありますが、ここでは触れません
　言い換えると「有界な数列の部分をなす数列は収束する」ということですが、証明は以下の通りで、

$${b_{k}=\inf{(a_{k},a_{k+1},\dots)}}$$とおく。
このとき$${b_{k}\leqq{b_{k+1}}\leqq {\sup{(a_{1},a_{2},\dots)}}}$$
となり、上に有界な増加列は収束するため、$${b_k}$$はある値$${β}$$に収束する。
このとき、十分大きい$${n_0}$$を取り、$${k>{n_0}}$$、$${ε>0}$$とすると、
$${β-ε<{b_{k}}<β+ε}$$
$${n>{n_0}}$$のとき、
$${β-ε<{b_k}\leqq{{a_n}}<β+ε}$$
$${k}$$はいくらでも大きく取れるので、$${n}$$も同様。
ある$${n_1}$$に対し、$${β-1<{a_{n_1}}<β+1}$$
ある$${n_{1}<{n_{2}}}$$に対し、$${β-\dfrac{1}{2}<{a_{n_2}}<β+\dfrac{1}{2}}$$
ある$${n_{2}<{n_{3}}}$$に対し、$${β-\dfrac{1}{3}<{a_{n_3}}<β+\dfrac{1}{3}}$$
と続けていくと、$${a_n}$$の部分列$${a_{n_k}}$$は$${β}$$に収束する。
よって題意は成り立つ。

　最後に、「コーシー列」という概念に触れてみましょう。
コーシー列とは、十分に大きな$${N\in{\N}}$$に対し、$${n,m>N}$$となるような$${n,m\in{\N}}$$を取るとき、$${\rvert a_{n}-a_{m}\rvert<ε}$$が成り立つような数列を「コーシー列」と呼びます。
 あとで証明しますが、ある数列がコーシー列であることと収束列であることは同値です（数列がコーシー列ならば収束列であり、数列が収束列ならばコーシー列です）。
　なので、数列の部分列の差が収束することがわかれば、元の数列の収束する値がわからなくとも、収束するかどうかが判定できます。

1：収束列ならばコーシー列である
$${a_n}$$は$${α}$$に収束するとおく。
$${\rvert a_{n}-a_{m}\rvert<\rvert a_{n}-α\rvert+\rvert a_{m}-α\rvert<\dfrac{ε}{2}+\dfrac{ε}{2}=ε}$$
よって題意は成立する。

2：コーシー列ならば収束列である
$${a_n}$$をコーシー列とする。
十分に大きい$${n_0}$$を取り、$${m,n>n_0}$$ならば、
$${\rvert a_{n}-a_{m}\rvert<1}$$となる$${n_0}$$が存在する。
このとき、$${n\geqq{n_{0}}}$$ならば、
$${\rvert a_{n}\rvert<\rvert a_{n}-{a_{n_0}}\rvert+\rvert {a_{n_0}}\rvert<\rvert {a_{n_0}}\rvert+1}$$
$${M=\max{(\rvert a_{1}\rvert,\rvert a_{2}\rvert,\dots,\rvert {a_{n_0}}\rvert,\rvert {a_{n_0}}\rvert+1)}}$$とおくと、
$${\rvert a_{n}\rvert \leqq{M}}$$が成り立つ。
このとき$${a_n}$$は有界数列である。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より、$${a_n}$$は収束する部分列を持つ。
これを$${a_{n_k}}$$とおく。
$${ε>0}$$とすると、十分に大きい$${n_0}$$に対し
$${m,n>n_{0}}$$ならば$${\rvert a_{n}-a_{m}\rvert<\dfrac{ε}{2}}$$（コーシー列の定義より）
十分大きい$${k_0}$$に対し、$${k>k_{0}}$$ならば、
$${\rvert a_{n_k}-α\rvert<\dfrac{ε}{2}}$$
$${n_{k}>{n_{0}}}$$となるような$${k>{k_{0}}}$$を取ると、
$${\rvert a_{n}-α\rvert<\rvert a_{n}-{a_{n_k}}\rvert+\rvert {a_{n_k}}-α\rvert<ε}$$
よって題意は成立する。

　大学で学ぶ数学の初歩を、厳密性は若干無視しつつ触れてきましたが、いかがでしたでしょうか？
　まだこれらの前提として触れないといけないことは結構あるのですが、あえて割愛しました。
　高校で学ぶものとちょっと違っていて戸惑う方もおられるかと思いますが、学んでいくとなかなか面白いですよ。

※参考：西岡久美子「解析学入門」