【方程式】〈７〉ベクトル方程式

2024年7月16日 11:04

　数学では、２次方程式、円の方程式、ベクトル方程式など、様々な「方程式」が登場しますよね。どう違うのでしょうか？　同じなのでしょうか？　実は、意味合いの違う３種類が混在しているのです！
　前半は、初歩とも言える「1⃣ 解く方程式」について解説しました。中盤は、高校数学でも難解な、でも、よく出題される「2⃣ 図形を表す方程式」の分野について、きちんと整理・解説していきますので、「そうだったのか！」「Methodを理解！」という領域まで到達していきましょう。

「方程式」は３種類

高校数学で学習する方程式は、大きく分けて次の３種類です。
　1⃣　未知数を求める＝解く（２次方程式、３次方程式など）
　2⃣　図形を表す（直線の方程式、円の方程式、ベクトル方程式など）
　3⃣　関数を求める（積分を含んだ式、微分方程式など）「直線」は３種類

[Method] ベクトルで表された図形

　「ベクトル方程式」って、ほぼ捨て問にされてしまう悲しい問題です！
ベクトルでさえ、すでに難しいので、さらに方程式となる、、、しかも、ベクトル分野の最後に学習することが多いので、、、、

　　まず、　基本的に「ベクトル方程式」は図形を表しているのですから、表す図形をターゲットとして覚えていきましょう。

（ⅰ）　円を表すベクトル方程式

円のベクトル方程式

　円上の点をP（x、y）とします。　中心Ａ(a、b)、半径 r の円の方程式は、
　　ＡＰ＝ｒ
が成り立ちますよね。距離の公式から、

これより、以下のように変形されて「円の方程式」が導かれます。

距離の公式ではなくて、ベクトルを用いると、

円上の点：P（x、y）＝位置ベクトルｐ→＝円上を動く点(動点)
中心：A（a、b）＝位置ベクトルa→
と考えます。

　ですから、絶対値が含まれていて苦手っぽいですが、この形を見たら、Aが中心の円に見えてほしいのです。
　さらには、ベクトルで表された式を変形したり、条件をベクトルで表現したりして、この形を導いて円を表すことができるようになれば上級です！

[Method] 位置ベクトルは“座標”と考えよう

　位置ベクトル＝“座標“
　　・位置ベクトルｐ→＝円上を動く点
　　・位置ベクトルa→＝中心を表す点

（ⅱ）　平行な直線を表すベクトル方程式

平行な直線を表すベクトル方程式

　傾きと通る点が分かれば、直線の方程式が導かれます。
　ｐ→が動く点（位置ベクトル）
　a→が通る点（位置ベクトル）
　ｄ→が方向ベクトル
　ｔは媒介変数＝いろいろな値（すべての実数）
位置ベクトル、長さのある普通のベクトル、媒介変数が混在する複雑な式です。

このとき、
　ｐ→、a→が位置ベクトル（座標と考えてよい）
　ｄ→が長さのある普通のベクトル
です。ベクトルの見た目は同じですが、意味合いが全く違うので、区別できるようにしていきましょう。ややこしいよね。
このあたりは、もちろん、間違った記述ではないのですが、混同して当然です。見た目が同じで意味合いが違う文字式が同じ方程式上にあるのですから。
（私は、「数学表記上のミス？」と考えています。高校数学では、いくつかあるのです！）

　媒介変数ｔも難しいです。ｔが出てきたらいろいろな値をとる数の代表だと思ってほしいのですが、これが難しいです！
　いくつか数を代入してみるのも一方かもしれません。