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【仲良くなろう】 〈シグマ:Σ〉

このシリーズでは、仲良くなりにくい分野について解説します。
今回は、〈シグマ:Σ〉です。
数列の和を端的に表した記号なのだけど、意味わからん!って声をよく聞きます。

[Method]  シグマ:Σの正体

① 数列の和を求めるとき、
 ⅰ)一般項:a[n]、b[n] など
 ⅱ)初めの項(初項)
 ⅲ)項数
が一度に書かれている記号で、情報量が多過ぎてややこしい
② 分数式になることがほとんどで、計算が複雑になりがち


以上の難点を克服して、正確に計算していく[Method] を紹介していきましょう。

[Method]  1⃣ 記号:意味わからない問題

シグマの意味

シグマとは、
 「一般項:a[k]の、kを1からnまで、順に入れ替えて、すべて加える」
という意味です。つまり、Snのことですね。

理解を深めるために、文字や数を変えてみましょう。すると、

みたいな感じです。
kは、3から始めたり、2から始めたり、、、、nまでだったり、3までだったり、、、
kに代入しながら、すべて足し算していきます。


[Method]  2⃣ n→k問題

 項数がであることが多いので、一般項a[n]、b[n] などの部分は、文字の重複や混同が起こらないようにで書き直されています。
ところが、逆にそれで混乱してしまいますよね。

〈例題1〉

上記はすべて Sn のことです。
 特に、一番右のは、n=1、n、a[n] ってなっているので混乱しますよね。
なので、一般項のとこは、kで書くことにしているのです。


[Method]  3⃣ 計算複雑になる問題

 公式が分数になるので、どうしても分数式の計算になってしまいます。これもつまずきの原因の一つだよね。

[Method] 計算複雑になる問題解決法
① 一般項をバラバラにして整式にする。
② 分数の部分をまず通分する。
③ nのところは、共通なものをできるだけたくさん見つけて、くくる。
④ 残りはバラバラにして、降べきの順に整理する。
⑤ 因数分解できるものはしておく。

以下の例題2で、①~⑤ を確認しながら、練習してみましょう。

〈例題2-1〉

〈例題2-2〉


[Method]  4⃣ 等比数列問題

 シグマの公式に、nが指数にあるものは習いませんが、良く出題されるのは、等比数列の公式で解決するからです。
 この練習は、超重要なのですが、教科書等でもあまり重要視されていません。詳しく解説しましょう。

シグマの上の部分=項数 をあらわしています。
n と n-1 の形を載せておきますので、違いをよく観察してくださいね。
つまり、一般項のrの指数(k-1)はそのままで、右辺分子のrの指数に反映します。項数だからです。
一般項a[k]の部分(公比、指数)→初項 に影響します。
微妙に変えた例を以下に載せますので、さらによく観て、自分のものにしてもらえたら嬉しいです。

初項の部分と項数の部分に注目

〈練習3ー1〉

〈解答3-2〉

〈練習3-3〉


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