【仲良くなろう】　〈シグマ：Σ〉

解法のMethod

2024年6月17日 16:54

このシリーズでは、仲良くなりにくい分野について解説します。
今回は、〈シグマ：Σ〉です。
数列の和を端的に表した記号なのだけど、意味わからん！って声をよく聞きます。

［Method] シグマ：Σの正体

① 数列の和を求めるとき、
　ⅰ）一般項：a[n]、b[n] など
　ⅱ）初めの項（初項）
　ⅲ）項数
が一度に書かれている記号で、情報量が多過ぎてややこしい
② 分数式になることがほとんどで、計算が複雑になりがち

以上の難点を克服して、正確に計算していく［Method] を紹介していきましょう。

［Method] 1⃣ 記号：意味わからない問題

シグマとは、
　「一般項：a[k]の、ｋを１からｎまで、順に入れ替えて、すべて加える」
という意味です。つまり、Snのことですね。

理解を深めるために、文字や数を変えてみましょう。すると、

みたいな感じです。
ｋは、３から始めたり、２から始めたり、、、、ｎまでだったり、３までだったり、、、
ｋに代入しながら、すべて足し算していきます。

［Method] 2⃣ ｎ→ｋ問題

　項数がｎであることが多いので、一般項a[n]、b[n] などの部分は、文字の重複や混同が起こらないように、ｋで書き直されています。
ところが、逆にそれで混乱してしまいますよね。

〈例題１〉

上記はすべて Sn のことです。
　特に、一番右のは、ｎ＝１、ｎ、a[ｎ] ってなっているので混乱しますよね。
なので、一般項のとこは、ｋで書くことにしているのです。

［Method] 3⃣ 計算複雑になる問題

　公式が分数になるので、どうしても分数式の計算になってしまいます。これもつまずきの原因の一つだよね。

［Method]　計算複雑になる問題解決法
① 一般項をバラバラにして整式にする。
② 分数の部分をまず通分する。
③ ｎのところは、共通なものをできるだけたくさん見つけて、くくる。
④ 残りはバラバラにして、降べきの順に整理する。
⑤ 因数分解できるものはしておく。

以下の例題２で、①～⑤ を確認しながら、練習してみましょう。

〈例題２－１〉

〈例題２－２〉

［Method] 4⃣ 等比数列問題

　シグマの公式に、ｎが指数にあるものは習いませんが、良く出題されるのは、等比数列の公式で解決するからです。
　この練習は、超重要なのですが、教科書等でもあまり重要視されていません。詳しく解説しましょう。

シグマの上の部分＝項数　をあらわしています。
n と n-1 の形を載せておきますので、違いをよく観察してくださいね。
つまり、一般項のｒの指数（ｋ－１）はそのままで、右辺分子のｒの指数に反映します。項数だからです。
一般項a[k]の部分（公比、指数）→初項　に影響します。
微妙に変えた例を以下に載せますので、さらによく観て、自分のものにしてもらえたら嬉しいです。